解圆锥曲线离心率的求法大全

求解圆锥曲线离心率的方法

离心率是圆锥曲线的一个重要性质,在高考中频繁出现,下面例析几种常用求法。椭圆的离心率e∈(0,1),双曲线的离心率e>1,抛物线的离心率e=1.一、直接求出a、c,求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时,可利用率心率公式例1.已知双曲线曲线的离心率为()A.

B.

C.

D.的准线是,解得

,即双曲线的右准线

,故选D.

的一条准线与抛物线

来解决。的准线重合,则该双

解:抛物线则

变式练习1:若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为()3211A.B.C.D.4324

解:由F1、F2的坐标知2c=3﹣1,∴c=1,又∵椭圆过原点,∴a﹣c=1,a+c=3,∴a=2,c=1,

c1

所以离心率e=C.

a2

变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为()A.

2

B.

62

C.32

D2

c3

解析:由题设a=2,2c=6,则c=3,e=C

a2变式练习3:点P(-3,1)在椭圆

的左准线上,过点P且方向为

a=(2,-5)的光线,经直线A.

B.

C.

D.

反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为()

解:由题意知,入射光线为,关于的反射光线(对称关系)为

,则解得.则。故选A。

二、构造a、c的齐次式,解出e

根据题设条件,借助a、b、c之间的关系,沟通a、c的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e的一元方程,从而解得离心率e。例2.已知F1、F2是双曲线

的两焦点,以线段F1F2为边作正三

角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()

A.

B.C.

D.

。由焦半径公式

解:如图,设MF1的中点为P,则P的横坐标为

,得

,故选D。

,解得

x2y2

变式练习1:设双曲线221(0

ab到直线的距离为

A.2

4

B.3

)C.2

2D.

3

解:由已知,直线L的方程为bx+ay-ab=0.

ab3

由点到直线的距离公式,得c2=a2+b2,∴4ab=3c2,

a2+b24

两边平方,得16a2(c2﹣a2)=3c4.两边同除以a4,并整理,得3e4-16e2+16=0.

4c2a2+b2b2

解得e2=4或e2=0

aaa3

变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1,F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为()23

解:如图所示,不妨设M(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),则

|MF1|=|MF2|=2+b2.又|F1F2|=2c,

|MF1|2+|MF2|2﹣|F1F2|2

在△F1MF2中,由余弦定理,得cos∠F1MF2=2|MF1|·|MF2|

(c2+b2)+(c2+b2)﹣4c21b2﹣c21

120°=﹣即2b2+c2222+b2·2+b2

6﹣a213

∵b=c﹣a,∴3a2=2c2,∴e2=e=

B.

2c2﹣a2222

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3.设椭圆的两个焦点分别为F1

、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。解:如右图所示,有

2

2

2

(A)3(B)

6

(C)

(D)

3

c2c椭圆的定义2c

e===

a2a|PF1|+|PF2|

===

1

离心率的定义

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

x2y2

例4.设椭圆22=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于x轴的弦

ab的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是解:如图1所示,AB是过F1且垂直于x轴的弦,∵AD⊥l1于D,∴|AD|为F1到准线l1

1

|AF1|2111

的距离,根据椭圆的第二定义,e=即e=

|AD||AD|222

变式练习:

e

椭圆的第二定义

=

|AF2|==|AD|,则二次曲线

的离心率

五、构建关于e的不等式,求e的取值范围例5.设

的取值范围为(

)A.

B.

C.

D.(

π

另:由x2cotθ﹣y2tanθ=1,θ∈(0,,得a2=tanθ,b2=cotθ,∴c2=a2+b2=tanθ+cotθ,

4πc2tanθ+cotθ

∴e2=2cot2θ,∵θ∈(0,,∴cot2θ>1,∴e2>2,∴e>.故选D.

a4tanθ→例6如图,已知梯形ABCD中,|AB|=2|CD|,点E分有向线段AC所成的比为λ,双曲23

线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当e的取值范围.

34

解:以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立如图3所示的直角坐标系xOy,则CD⊥y轴.因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双

c

曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意,记A(﹣c,0),C(h),E(x0,

2

1

y0),其中c=AB|为双曲线的半焦距,h是梯形的高.

2

c

-c+λ·

2(λ-2)cy0=λh设双曲线的方程由定比分点坐标公式得x02(1+λ)1+λ1+λx2y2c

为1,则离心率e=由点C、E在双曲线上,所以,将点C的坐标代入双曲线方程a2b2ac2h2c2λ﹣22λ2h2得﹣=1①,将点E的坐标代入双曲线方程得()-()=1

4a2b24a21+λ1+λb2

ce2h2h2e2e2λ﹣2212h2

②.再将e=②得1,∴1③,-(1④.

a4b2b2441+λ1+λb

2

将③式代入④式,整理得≤1-

e232324-4λ)=1+2λ,∴λ=1-4e2+2343

33

7≤e≤10.所以双曲线的离心率的取值范围为[7,10].e2+24

练习:

x2y2

1.(天津理4)设双曲线2−2=1(a>0,b>

0)且它的一条准线与抛物线

ab

y2=4x的准线重合,则此双曲线的方程为

x2y2

A.−=11224

x2y2B.−=14896

x22y2C.−=133

x2y2

D.−=136

2.(全国2文11)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于(A.

1

3

B

C.

12

D

x2y24

3.(2006全国II)已知双曲线1的一条渐近线方程为y=,则双曲线的离心率为

3a2b2

(A5

3

(B)43

(C)54

(D)32

4.(2006山东卷)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距

(A)2

离为1,则该椭圆的离心率为(B)

2

(C)212

(D)

24

5.(2006山东卷)在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为2,焦点到相应准线的距

离为

1

,则该双曲线的离心率为2

(A)

22

(B)2(C)

2(D)22

x2r2

6.(安徽理9)如图,F1和F2分别是双曲线2−2=1(a≻0,b≻0)的

ab

两个焦点,A和B是以O为圆心,以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为(A)3

(B)5

(C)

2

(D)1+3

x2y2

7.(湖南文9)设F1、F2分别是椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点,P是其右准线

ab

(c为半焦距)的点,且F1F2=F2P,则椭圆的离心率是

A

B.

12

C.

D

.

x2y2

8.(全国2理11)设F1,F2分别是双曲线2−2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A,

ab

使∠F1AF2=90º,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为

(A)

(B)

(C)

(D)

x2y2

9.(2006福建卷)已知双曲线2−2=1(a>0,b

ab

60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是

A.(1,2)B.(1,2)C.[2,+∞]D.(2,+∞)

x2y2

10.(北京文4)椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,两条准线与x轴的交点分别

ab

为M,N,若MN≤2F1F2,则该椭圆离心率的取值范围是(A.⎜0

⎛⎝1⎤2⎦

B.⎜0⎛⎜⎝⎦

C.⎢

1⎟

⎡1⎞

⎣2⎠

D.⎞

1⎟⎟⎣⎠

ca2

答案:1.由==

1可得ab=c=3.故选D

ac

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,∴a=

2b,椭圆的离心率e=

cD。=

ab4c5

3.双曲线焦点在x轴,

由渐近线方程可得=,可得e===,故选A

a3a3x2y22b2a22

4.不妨设椭圆方程为2+2=1(a>b>0),

则有=−c=1,据此求出e=

abac2x2y22b2a21

5.不妨设双曲线方程为2−2=1(a>0,b>0)

,则依题意有=c−=,

abac2

据此解得e=2,选C

x2r2

6.解析:如图,F1和F2分别是双曲线2−

2=1(a≻0,b≻0)的两个

ab

焦点,A和B是以O为圆心,以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△连接AF1,∠AF2F1=30°,|AF1|=c,|AF2|=3c,

∴2a=−1)c,F2AB是等边三角形,

双曲线的离心率为1+,选D。

a2a2

7.由已知P(,c),所以2c=(−c)2+(3c)2化简得

cca2−2c2=0⇒e=

c2=a2.

x2y2

8.设F1,F2分别是双曲线2−2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90º,

ab

且|AF1|=3|AF2|,设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中2a=|AF1|−|AF2|=

2,

2c==,∴

离心率e=

,选B。x2y2

9.双曲线2−2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线

ab

的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

222ca+b

3,离心率e2=2=≥4,∴e≥2,选C2

aa

bb

,∴≥aa

x2y2

10.椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,两条准线与x轴的交点分别为M,N,

aba2a22

若|MN|=2,|F1F2|=2c,MN≤2F1F2,则,D。≤2c,该椭圆离心率e≥

cc2

设点P(x0,y0)为曲线上的点一.椭圆的焦半径公式:

1.到左焦点的距离:d=a+ex0;2.到右焦点的距离:d=a−ex0.二.双曲线的焦半径公式:

1.到左焦点的距离:

2.到右焦点的距离:

⎧a−ex0,x0≤−a;

d=a−ex0=⎨.

ex−a,x≥a.0⎩0

⎧−a−ex0,x0≤−a;

d=a+ex0=⎨;

a+ex,x≥a.00⎩


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