2016精选经典数学题

2016届高三精选经典错题集 (提供教师:黄长新)

001 (1) 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A ,B ,C ,其中A ={a 1,a 2,„,a n },B ={b 1,b 2,„,b n },C ={c 1,c 2,„,c n },若A ,B ,C 中的元素满足条件:c 1

(1)若M ={1,x, 3,4,5,6}为“完并集合”,则x 的一个可能值为________.(写出一个即可)

(2)对于“完并集合”M ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},在所有符合条件的集合C 中,其元素乘积最小的集合是________.

002 已知平面区域M ={(x ,y )|x 2+y 2≤4},N =(x ,

⎧⎪y ≥mx +2m ,y )|⎨22,在区域M 上 随机取一点A ,点A 落在区域N ⎪x +y ≤4⎩⎡13π+2⎤

,内的概率为P (N ) ,若P (N ) ∈⎢则实数m 的取值范围为( )

24π⎣⎦

A .[0,1] C .[-1,1]

⎡3⎤

B. ⎢-,0⎥

3⎣⎦

D .[-1,0]

⎧⎫1⎫⎪⎛

003设平面点集A =⎨(x ,y )⎪(y -x ) y -x ⎪≥0⎬,B ={(x ,y )|(x -

⎪⎝⎭⎩⎭

1) 2+(y -1) 2≤1},则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )

3

A. 4 4C. 7

3B. 5π πD. 2

004设a ,b ∈R ,则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件

D .既不充分又不必要条件

⎛1⎫x

005已知f (x ) =ln(x +1) ,g (x ) = 2⎪-m ,若对任意x 1∈[0,3],存

⎝⎭

2

在x 2∈[1,2],使得f (x 1) ≥g (x 2) ,则实数m 的取值范围是( )

⎡1⎫A. ⎢4⎪ ⎣⎭⎡1⎫C. 2⎪ ⎣⎭

1⎤⎛

B. 4⎥ ⎝⎦1⎤⎛ D. -∞,-2 ⎝⎦

006如图所示的程序框图中,若f (x ) =x 2-x +1,g (x ) =x +4,且h (x ) ≥m 恒成立,则m 的最大值是(

)

( ) A .4 C .1

007方程x 2+ax -2=0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围

B .3 D .0

为( )

⎛23⎫A. -5,+∞⎪ ⎝⎭⎡23⎤C. ⎢-5,1⎥ ⎣⎦

B .(1,+∞) 23⎫⎛

D. 5 ⎝⎭

008设f (x ) =|3x -1|,c f (b ) ,则下列关系式中一定成立的是( )

A .3c >3a C .3c +3a >2

B .3c >3b D .3c +3a

009已知函数y =f (x )(x ∈R ) .对函数y =g (x )(x ∈I ) ,定义g (x ) 关于f (x ) 的“对称函数”为函数y =h (x )(x ∈I ) .y =h (x ) 满足:对任意x ∈I ,两个点(x ,h (x )) ,(x ,g (x )) 关于点(x ,f (x )) 对称.若h (x ) 是g (x ) 4-x 关于f (x ) =3x +b 的“对称函数”,且h (x )>g (x ) 恒成立,则实数b 的取值范围是________.

010若定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x +2) =f (x ) ,且x ∈[-1,1]

⎧0,x =0,

时,f (x ) =1-x ,函数g (x ) =⎨

1

⎩-x x

2

lg x ,x >0,

则函数h (x ) =f (x ) -g (x )

在区间[-5,5]内的零点个数是( )

A .5 C .8

B .7 D .10

ln x ⎛ln x ⎫2ln x 2

011设1

⎝⎭

⎛ln x ⎫2ln x ln x A. x

2

ln x ⎛ln x ⎫2ln x 2B. x x x

⎝⎭

⎛ln x ⎫2ln x ln x C. x

2

ln x 2⎛ln x ⎫2ln x D. x x ⎪

⎝⎭

012已知函数f (x ) =e x -ax (a 为常数) 的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f (x ) 在点A 处的切线斜率为-1.

(1)求a 的值及函数f (x ) 的极值; (2)证明:当x >0时,x 2

(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞) 时,恒有x 2

π⎫⎛π

013函数f (x ) =sin(2x +φ) |φ|

π⎤⎡

⎢0函数f (x ) 在2⎦上的最小值为( ) ⎣

3A .-2 1C. 21B .-2 3D. 2

014在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c . →·→=2,cos B =1b =3. 求: 已知BA BC 3

(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C ) 的值.

015设a 是已知的平面向量且a ≠0. 关于向量a 的分解,有如下四个命题:

①给定向量b ,总存在向量c ,使a =b +c ;

②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使a =λb +μc ; ③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使a

=λb +μc ;

④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使a =λb +μc .

上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )

A .1 C .3

B .2 D .4

→=(1,-2) ,OB →=(a ,-1) ,OC →=(-b, 0) ,a >0,b >0,016设OA

12

O 为坐标原点,若A ,B ,C 三点共线,则a b ________.

017设θ为两个非零向量a ,b 的夹角.已知对任意实数t ,|b +t a |的最小值为1.( )

A .若θ确定,则|a |唯一确定 B .若θ确定,则|b |唯一确定 C .若|a |确定,则θ唯一确定 D .若|b |确定,则θ唯一确定

⎛n π⎫2n π018已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2= 1+cos 2a n +sin 2⎝⎭

则该数列的前18项之和为( )

A .2 101 C .1 012

B .1 067 D .2 012

019已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n ,数列{b n }满足b 1=-1,b n +1=b n +(2n -1)(n ∈N +) .

(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)求数列{b n }的通项公式b n ;

a ·b (3)若c n n ,求数列{c n }的前n 项和T n .

11k

020设a >0,b >0,且不等式a b ≥0恒成立,则实数k

a +b 的最小值等于( )

A .0 C .-4

B .4 D .-2

x ≥0,⎧⎪

是由不等式组⎨y ≥0,

⎪⎩x +y ≥1

021在平面直角坐标系中,点P

所确

定的平面区域内的动点,Q 是直线2x +y =0上任意一点,O 为坐标→+OQ →|的最小值为( ) 原点,则|OP

5

A. 52B. 3

022古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三n (n +1)121

角形数1,3,6,10,„,第n 个三角形数为2=2+2n . 记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3) ,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:

11

三角形数 N (n, 3) =22+2, 正方形数 N (n, 4) =n 2, 31

五边形数 N (n, 5) =22-2, 六边形数 N (n, 6) =2n 2-n , „

推测N (n ,k ) 的表达式,由此计算N (10,24)的值________.

22

D .1

023 有红、黄、兰色的球各5只, 分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字

母, 现从中取5只, 要求各字母均有且三色齐备, 则共有多少种不同的取法

024 某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为

x 2y 21

025 已知椭圆C :a b =1(a >b >0)的离心率e =2A 为椭圆上一点,∠F 1AF 2=60°,且S △F 1AF 2=3.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设动直线l :kx +m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ,且与直线x =4相交于点Q . 问:在x 轴上是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.

x 2y 2

026 已知椭圆C 941,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=________.

2y

027已知双曲线x 2-31上存在两点M ,N 关于直线y =x +m 对称,

且MN 的中点在抛物线y 2=18x 上,则实数m 的值为________. 028已知某组合体的主视图与左视图相同,如图所示,其中AB =AC ,四边形BCDE 为矩形,则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上) .

029平面图形ABB 1A 1C 1C 如图1所示,其中BB 1C 1C 是矩形.BC =2,BB 1=4,AB =AC 2,A 1B 1=A 1C 15. 现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠,使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都与平面BB 1C 1C 垂直,再分别连接A 1A ,A 1B ,A 1C ,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题.

(1)求证:AA 1⊥BC ; (2)求AA 1的长;

(3)求二面角A -BC -A 1的余弦值.

030乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D . 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球,规定:回球一次,落点在

C

上记3分,在D 上记1分,其他情况记0分,对落点在A 上的来球,11

队员小明回球的落点在C 上的概率为2D 上的概率为31

在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为5D 上的概率3

为5A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响,求:

031(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;

(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望..

032为了求满足1+2+3+„+n

)

A .i -2 C .i

B .i -1 D .i +1

⎧⎪x =4cos θ,

033在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎨(θ

⎪⎩y =4sin θ,

π

为参数) ,直线l 经过点P (2,2),倾斜角α=3.

(1)写出圆的标准方程和直线l 的参数方程; (2)设l 与圆C 相交于A 、B 两点,求|P A |·|PB |的值.

034已知函数f (x ) =m -|x -2|,m ∈R ,且f (x +2) ≥0的解集为[-1,1].

(1)求m 的值;

111

(2)若a ,b ,c ∈R +,且a +2b +3c =m ,求证:a +2b +3c ≥9. 035 对于c >0,当非零实数a ,b 满足4a 2-2ab +b 2-c =0且使|2a 124

+b |最大时,a +b c 的最小值为________.

036如图,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG =PD ,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F

.

(1)求证:AB 为圆的直径;

(2)若AC =BD ,求证:AB =ED .

参考答案

001【解析】(1)M ={1,x, 3,4,5,6}共有6个元素,所以3个集合A ,B ,C 中各有2个元素,因为a k +b k =c k ,所以集合C 中必含有6个元素中最大的一个.当x 6时,C ={6,x },当1+5=6时,3+4=x ,此时x =7. 当C =(5,x ) 时,1+4=5,3+6=x ,此时x =9. 当C ={4,x }时,1+3=4,5+6=x ,此时x =11. 当集合C 中另一个元素小于等于3时,已不能满足a k +b k =c k ,故舍去.所以x 的可能取值为7,9,11.

(2)M ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}共含有12个元素,所以集合C 中含有4个元素.其中包含最大的元素12. 集合C 的所有可能有{8,9,10,12},{7,9,11,12},{6,10,11,12}.经计算可知元素乘积最小的集合是{6,10,11,12}.

【答案】 (1)7(9或11)(写出一个即可)

(2){6,10,11,12}

002【解析】 平面区域M ={(x ,y )|x 2+y 2≤4}的面积为4π,设

⎧⎪y ≥mx +2m ,3π+21平面区域N =(x ,y )|⎨22的面积为S ,因为2P (N ) 4π⎪⎩x +y ≤4

1S 3π+22≤4π4π,2π≤S ≤3π+2,直线=mx +2m 过定点(-2,0) ,斜率为m ,数形结合可知,当m =0时,平面区域N 的面积为2π;当m =-1时,平面区域N 的面积为3π+2. 所以实数m 的取值范围为[-1,0].故选D.

【答案】 D

1⎫⎛003解析 不等式(y -x ) y -x ≥0⎝⎭y -x ≥0,⎧⎪可化为⎨1y -x 0⎪⎩ 或

⎧y -x ≤0,

⎨1⎩y -x ≤0. 集合B 表示圆(x -1) 2+(y -1) 2=1上以及圆内部的点所

1构成的集合,A ∩B 所表示的平面区域如图所示.由线y =x (x -

1) 2+(y -1) 2=1均关于直线y =x 对称,所以阴影部分占圆面积的一半,故选

D.

答案 D

2⎧⎪x ,x ≥0,004解析 令f (x ) =x |x |,则f (x ) =⎨2画出f (x ) 的图像⎪-x ,x

(如图) ,易知f (x ) 在R 上为单调递增函数,因此a >b ⇔f (a )>f (b ) ,故“a >b ”

是“a |a |>b |b |”的充要条件,故选

C.

005解析 当x ∈[0,3]时,[f (x )]min =f (0)=0. 当x ∈[1,2]时,[g (x )]min

111=g (2)=4m ,由[f (x )]min ≥[g (x )]min ,得0≥4m ,所以m ≥4. 故选

A.

答案 A

006解析 依题意,执行题中的程序框图,最后输出h (x ) =max{f (x ) ,g (x )}(符号max{f (x ) ,g (x )}表示的是f (x ) ,g (x ) 中的较大者) .注意到当f (x ) ≥g (x ) ,即x 2-x +1≥x +4,x ≤-1或x ≥3时,h (x ) =x 2

1⎫23⎛ -x +1=x -2+4h (-1) =3;当f (x )

1

答案 B

007解析 令f (x ) =x 2+ax -2,

由题意,知f (x ) 图像与x 轴在[1,5]上有交点,

⎧⎪f (1)≤0,23则⎨5≤a ≤1. ⎪⎩f (5)≥0.

答案 C

008解析 画出f (x ) =|3x -1|的图像如图所示.

要使c f (b ) 成立,

则有c 0.

由y =3x 的图像可得0

∵f (c ) =1-3c ,f (a ) =3a -1,f (c )>f (a ) ,

∴1-3c >3a -1,即3c +3a

答案 D

h (x )+4-x 009解析 3x +b , 2

所以,h (x ) =6x +2b -4-

x .

h (x )>g (x ) 恒成立,

即6x +2b 4-x >4-x 恒成立,

整理得3x +b >4-x 恒成立.

在同一坐标系内,画出直线y =3x +b 及半圆y =4-x (如图所

|3×0-0+b |示) ,当直线与半圆相切时,2, 1+3

所以|b |=210. 故b 的取值范围是(210,+∞) .

答案 (210,+∞)

010解析 依题意得,函数f (x ) 是以2为周期的函数,在同一坐标系下画出函数y =f (x ) 与函数y =g (x ) 的图像,结合图像得,当x ∈[-5,5]时,它们的图像的公共点共有8个,即函数h (x ) =f (x ) -g (x ) 在区间[-5,5]内的零点个数是

8.

答案 C

1x -1011解析 令f (x ) =x -ln x (1

∴函数y =f (x ) 在(1,2)内为增函数.

⎛ln x ⎫2ln x ln x ∴f (x )>f (1)=1>0,∴x >lnx >0⇒0

ln x 2ln x 2ln x -x ln x (2-x )ln x 又x -x ==, x x ⎛ln x ⎫2ln x ln x ∴ x

答案 A

012解 法一 (1)由f (x ) =e x -ax ,得f ′(x ) =e x -a .

又f ′(0)=1-a =-1,得a =2.

所以f (x ) =e x -2x ,f ′(x ) =e x -2.

令f ′(x ) =0,得x =ln2.

当x

当x >ln2时,f ′(x )>0,f (x ) 单调递增.

所以当x =ln2时,f (x ) 取得极小值,

且极小值为f (ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4,f (x ) 无极大值.

(2)令g (x ) =e x -x 2,则g ′(x ) =e x -2x .

由(1)得g ′(x ) =f (x ) ≥f (ln2)>0,

故g (x ) 在R 上单调递增,又g (0)=1>0,

因此,当x >0时,g (x )>g (0)>0,即x 2

(3)①若c ≥1时,e x ≤c e x .

又由(2)知,当x >0时,x 20时,x 2

取x 0=0,当x ∈(x 0,+∞) 时,恒有x 2

1②若01,要使不等式x 2kx 2

成立.

而要使e x >kx 2成立,则只要x >ln(kx 2) ,只要x >2lnx +ln k 成立.

2x -2令h (x ) =x -2ln x -ln k ,则h ′(x ) =1-x =x .

所以当x >2时,h ′(x )>0,h (x ) 在(2,+∞) 内单调递增. 取x 0=16k >16,所以h (x ) 在(x 0,+∞) 内单调递增,

又h (x 0) =16k -2ln(16k ) -ln k =8(k -ln2) +3(k -ln k ) +5k , 易知k >lnk ,k >ln2,5k >0,所以h (x 0)>0.

16即存在x 0=c ,当x ∈(x 0,+∞) 时,恒有x 2

综上,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞) 时,恒有x 2

法二 (1)同法一.

(2)同法一.

4(3)对任意给定的正数c ,取x 0=, c

由(2)知,当x >0时,e x >x 2,

x x ⎛x ⎫2⎛x ⎫2所以e =2·e 2> 2⎪ 2⎪, ⎝⎭⎝⎭x

⎛x ⎫2⎛x ⎫24⎛x ⎫212当x >x 0时,e > 2 2>c 2⎪=c x , ⎝⎭⎝⎭⎝⎭x

因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞) 时,恒有x 2

法三 (1)同法一.

(2)同法一.

13x (3)首先证明当x ∈(0,+∞) 时,恒有3x

证明如下:

13x 令h (x ) =3-e ,则h ′(x ) =x 2-e x .

由(2)知,当x >0时,x 2

从而h ′(x )

13x 所以h (x )

31213x 取x 0=c x >x 0时,有c x

因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞) 时,恒有x 2

π⎫⎛π013解析 函数f (x ) =sin(2x +φ) |φ|

π⎫⎛的函数为f x +6 ⎝⎭

π⎫π⎡⎛⎤⎛⎫=sin ⎢2 x +6+φ⎥=sin 2x +3+φ⎪, ⎣⎝⎭⎦⎝⎭

π因为此时函数为奇函数,所以3φ=k π(k ∈Z ) ,

π所以φ=-3+k π(k ∈Z ) .

ππ因为|φ|

π⎫⎛πππ2π ⎪2x -所以f (x ) =sin 3. 当0≤x ≤时,-≤2x -2x ⎝⎭2333

ππ时,函数f (x ) =sin ⎛ ⎝2x -π⎫⎛π⎫3333⎭有最小值为sin ⎝-3⎭=-2答案 A

014解 (1)由BA →·BC →=2,得c ·a cos B =2.

又cos B =1

3ac =6.

由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B .

又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13.

解⎧⎪⎨ac =6,

⎪⎩a 2+c 2=13, 得a =2,c =3或a =3,c =2.

因a >c ,所以a =3,c =2.

(2)在△ABC 中,

sin B =1-cos B = 1-⎛ ⎫22⎝3⎭=3,

由正弦定理,得sin C =c sin B =2222

b 339.

因a =b >c ,所以C 为锐角,

因此cos C =1-sin C = 1-⎛ 42⎫

⎝9⎪27

⎭9.

于是cos(B -C ) =cos B cos C +sin B sin C

=1722223

3939=27.

015解析 对于①,因为a 与b 给定,所以a -b 一定存在,可-

表示为c ,即c =a -b ,故a =b +c 成立,①正确;对于②,因为b 与c 不共线,由平面向量基本定理可知②正确;对于③,由题意必有λb 和μc 表示不共线且长度不定的向量,由于μ为正数,故λb +μc 不能把任意向量a 表示出来,故③错误;对于④,利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边之和大于第三边,即必有|λb |+|μc |=λ+μ≥|a |,故④错误,因此正确的个数为2.

答案 B

016解析 AB →=OB →-OA →=(a -1,1) ,

AC →=OC →-OA →=(-b -1,2) .∵A ,B ,C 三点共线,

∴AB →∥AC →.

∴2(a -1) -(-b -1) =0,∴2a +b =1.

∴12⎛ 12⎫

a b ⎝a +b ⎭(2a +b )

=4+b 4a a b 4+2 a b 8.

当且仅当b 4a 11a b ,即b =2a =4 ∴12

a b 8.

答案 8

017解析 |b +t a |2=(b +t a ) 2=|b |2+|a |2t 2+2a ·b t ,

令f (t ) =|a |2t 2+2a ·b t +|b |2,

由于|b +t a |的最小值为1,所以函数f (t ) 的最小值也为

4|a |2|b |2-4(a ·b )2

4|a |=1.

又a ,b 均为非零向量,且夹角为θ, ,即1

1因此|b |-|b |cos θ=1,于是|b |=, 1-cos 2θ2222

因此当θ确定时,|b |2的值唯一确定,亦即|b |唯一确定.故选B. 答案 B

018解析 当n 为正奇数时,a n +2=(1+0) a n +1=a n +1;当n 为正偶数时,a n +2=(1+1) a n +0=2a n . ∴数列{a n }是奇数项为等差数列,

9×(1+9)偶数项为等比数列的一个数列.∴数列{a n }的前18项和为2

2×(1-29)+=1 067. 1-2

答案 B

019解 (1)∵S n =3n ,∴S n -1=3n -1(n ≥2) ,

∴a n =S n -S n -1=3n -3n -1=2×3n -1(n ≥2) .

当n =1时,2×31-1=2≠S 1=a 1=3,

⎧⎪3,n =1,∴a n =⎨ n -1⎪2×3,n ≥2. ⎩

(2)∵b n +1=b n +(2n -1) ,

∴b 2-b 1=1,b 3-b 2=3,b 4-b 3=5,„,b n -b n -1=2n -3. 以上各式相加得

b n -b 1=1+3+5+„+(2n -3)

(n -1)(1+2n -3)2=(n -1) . 2

∵b 1=-1,∴b n =n 2-2n .

⎧⎪-3,n =1,(3)由题意得c n =⎨ n -1⎪⎩2(n -2)×3,n ≥2.

当n ≥2时,T n =-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+„+2(n -2) ×3n -1,

∴3T n =-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+„+2(n -2) ×3n , ∴相减得-2T n =6+2×32+2×33+„+2×3n -1-2(n -2) ×3n . ∴T n =(n -2) ×3n -(3+32+33+„+3n -1)

n n

3-3(2n -5)3+3n

=(n -2) ×3-2=2

⎧-3,n =1,

n

∴T n =⎨ 2n -5 3+3

,n ≥2.⎩2

(a +b )2(a +b )2b a 11k

020解析 由a +b 0,得k ≥ab 而ab a +b

a +b (a +b )2

+2≥4,当且仅当a =b 时取等号,所以-ab ≤-4,因此要使k ≥(a +b )2

-ab k ≥-4,即实数k 的最小值等于-4.

答案 C 021解析

→,则|OP →+OQ →|在直线2x +y =0上取一点Q ′,使得Q →′O =OQ →+Q →→|,其中P ′,B 分别为点P ,A =|OP ′O |=|Q →′P |≥|P →′P |≥|BA 在直线2x +y =0上的投影,如图所示:

|0+1|55→→→因为|AB |=5,因此|OP +OQ |min =5.

1+2答案 A

1

022解析 由题中数据可猜想:含n 2项的系数组成首项是2111

2的等差数列,含n 项的系数组成首项是22k -224-k 1⎤2⎡1⎛1⎫⎤⎡1

⎢⎢⎥-(k -3)列,因此N (n ,k ) =22⎦n +⎣2(k -3)⎝2⎭⎦n =2+2⎣n . 故N (10,24)=11n 2-10n =11×102-10×10=1 000.

答案 1 000

023 解: 024解:命中的三枪捆绑成一枪,与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位,共有A 52=20种不的情形

1

025 解 (1)由e 2a 2=4c 2. ①

S △F 1AF 2中由余弦定理有,

|F 1A |2+|F 2A |2-2|F 1A ||F 2A |cos60°=4c 2, 又|AF 1|+|AF 2|=2a , 可得a 2-c 2=3 ②

联立①②得,a 2=4,c 2=1,∴b 2=3. x 2y 2

所以椭圆方程为4+31.

⎧y =kx +m

(2)设点P (x 0,y 0) ,由x 2y 2

431

(4k 2+3) x 2+8kmx +4m 2-12=0.

Δ=64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12) =0,化简得4k 2-m 2+3=0,所以

⎛4k 3⎫4km 4k 3

x 0=-=-m ,y 0=m P -m ,m ⎪.

⎝⎭4k +3

⎧⎪y =kx +m

由⎨,得Q (4,4k +m ) ,假设存在点M ,坐标为(x 1, 0) ,⎪x =4⎩

3⎫⎛4k →则MP = m x 1m ⎪.

→=(4-x 4k +m ) , MQ 1,

→·→=0,即-16k 因为以PQ 为直径的圆恒过点M ,所以MP MQ m 4kx 12k k 224x 3=0,所以有(4x 1+x 1+1-4) x 1-4x 1+3=0对任意m m m 的k ,m 都成立.

⎧⎪4x 1-4=0则⎨2,解得x 1=1,故存在定点M (1,0)符合题意. ⎪x -4x +3=0⎩11

026解析

如图,设MN 的中点为P ,则由F 1是AM 的中点,可知|AN |=2|PF 1|. 同理可得可知 |BN |=2|PF 2|. ∴|AN |+|BN |

=2(|PF 1|+|PF 2|)=4a =12. 答案 12

027解析 设M (x 1,y 1) ,N (x 2,y 2) ,MN 的中点P (x 0,y 0) ,

⎧⎪y

则⎨x -31, ②⎪x +x =2x , ③⎩y +y =2y , ④

22

21

2

1

2

2y x 21-=1, ①3

1

由②-①得(x 2-x 1)(x 2+x 1) =3y 2-y 1)·(y 2+y 1) ,显然x 1≠x 2, y 2-y 1y 2+y 1y ∴=3,即k MN x 03, x 2-x 1x 2+x 1∵M ,N 关于直线y =x +m 对称,

∴k MN =-1,∴y 0=-3x 0,又∵y 0=x 0+m ,

⎛m 3m ⎫

∴P -4,4,代入抛物线方程得

⎝⎭⎛m ⎫92

-⎪, m =18·16⎝4⎭

解得m =0或-8,经检验都符合. 答案 0或-8

028解析 直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱) 的俯视图为①;直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥,下部是一个圆柱) 的俯视图为②;直观图如图3的几何体(上部

是一个圆锥,下部是一个圆柱) 的俯视图为③;直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥,下部是一个正四棱柱) 的俯视图为④.

图1图2图3图4 答案 ①②③④

029 【解】 (1)证明:取BC ,B 1C 1的中点分别为D 和D 1,连接A 1D 1,DD 1,AD . 由BB 1C 1C 为矩形知,DD 1⊥B 1C 1.

因为平面BB 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1,所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1. 又由A 1B 1=A 1C 1知,A 1D 1⊥B 1C 1.

故以D 1为坐标原点,可建立如图所示的空间直角坐标系D 1-xyz .

由题设,可得A 1D 1=2,AD =1.

由以上可知AD ⊥平面BB 1C 1C ,A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ,于是AD ∥A 1D 1. 所以A (0,-1,4) ,B (1,0,4),A 1(0,2,0),C (-1,0,4) ,D (0,0,4).

→→→→→→

故AA 1=(0,3,-4) ,BC =(-2,0,0). AA 1·BC =0,因此AA 1⊥BC ,即AA 1⊥BC .

(2)因为AA 1=(0,3,-4) ,

所以|AA 1|=5,即AA 1=5.

(3)设平面A 1BC 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1) . →→

又因为A 1C =(-1,-2,4) ,A 1B =(1,-2,4) , →⎧⎪A 1C ·n 1=0,所以⎨

→⎪⎩A 1B ·n 1=0,

⎧⎧⎪x 1+2y 1-4z 1=0,⎪x 1=0,即⎨⇒⎨ ⎪⎪⎩x 1-2y 1+4z 1=0⎩y 1=2z 1

令z 1=1,则n 1=(0,2,1).又因为平面ABC ⊥z 轴, 所以取平面ABC 的法向量为n 2=(0,0,1). n ·n 15则cos 〈n 1,n 2〉=5,

|n 1||n 2|55

所以二面角A -BC -A 15.

030解 (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i =0,1,3) ,

11111

则P (A 3) =2,P (A 1) =3P (A 0) =1-2-36;

记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i 13131

=0,1,3) ,则P (B 3) =5,P (B 1) =5,P (B 0) =1-555.

记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”.由题意,D =A 3B 0+A 1B 0+A 0B 1+A 0B 3,

由事件的独立性和互斥性, P (D ) =P (A 3B 0+A 1B 0+A 0B 1+A 0B 3)

=P (A 3B 0) +P (A 1B 0) +P (A 0B 1) +P (A 0B 3)

=P (A 3) P (B 0) +P (A 1) P (B 0) +P (A 0) P (B 1) +P (A 0) P (B 3) 111113113=25356×56×510

3

所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为10(2)由题意,随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6, 由事件的独立性和互斥性,得 111

P (ξ=0) =P (A 0B 0) =65=30, P (ξ=1) =P (A 1B 0+A 0B 1) =P (A 1B 0) +P (A 0B 1) 11131=35656,

131

P (ξ=2) =P (A 1B 1) =35=5 P (ξ=3) =P (A 3B 0+A 0B 3) =P (A 3B 0) +P (A 0B 3) 11112=255615 P (ξ=4) =P (A 3B 1+A 1B 3) =P (A 3B 1) +P (A 1B 3) 131111=253530 111

P (ξ=6) =P (A 3B 3) =25=10. 可得随机变量ξ的分布列为:

111

所以数学期望Eξ=0×30+1×62×5+3×154×30+61091=30.

031解 (1)2×2列联表如下:

(2)因为χ2=10>6.635,

12×18×20×10

所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 031【错因分析】 本题易出现两个方面的错误:

(1)循环结构规律不明确,导致S 的运算错误;

(2)程序框图中,S =S +i 与i =i +1的逻辑顺序不明确,导致错误.

【正解】 依次执行程序框图: S =0+1,i =2; S =0+1+2,i =3; S =0+1+2+3,i =4; „ „ 由此可得

S =1+2+3+„+n 时,i =n +1;

经检验知当S =1+2+3+„+62=1 953时i =63,满足条件进

入循环;

S =1+2+3+„+62+63=2 016时i =64,不满足条件, 退出循环.

所以应该输出62即i -2. 故选A.

【点拨提升】 (1)解决程序框图问题要注意几个常用变量 ①计数变量:用来记录某个事件发生的次数,如i =i +1. ②累加变量:用来计算数据之和,如S =S +i . ③累乘变量:用来计算数据之积,如p =p ×i .

(2)处理循环结构的框图问题,关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数.

033解 (1)由圆C 的参数方程可得其标准方程为x 2+y 2=16.

π

因为直线l 过点P (2,2),倾斜角α=3 π⎧x =2+t cos ⎪3,

所以直线l 的参数方程为⎨π

⎪⎩y =2+t sin 3

(t 为参数) ,

即⎨3⎩y =2+2t ,

1x =2+2t ,

(t 为参数) .

(2)把直线l 的参数方程⎨3

⎩y =2+2,

代入圆C :x 2+y 2=16中 1⎫2⎛⎛3⎫2

得 2+2t ⎪+ 2+t ⎪=16,

2⎭⎝⎭⎝

1

x =2+2t ,

(t 为参数) ,

整理得:t 2+3+1) t -8=0,设A 、B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1t 2=-8,

即|P A |·|PB |=|t 1||t 2|=|t 1t 2|=8. 故|P A |·|PB |的值为8.

034解 (1)因为f (x +2) =m -|x |,f (x +2) ≥0等价于|x |≤m ,

由|x |≤m 有解,得m ≥0,且其解集为{x |-m ≤x ≤m |. 又f (x +2) ≥0的解集为[-1,1],故m =1.

111

(2)证明:由(1)知a 2b 3c 1,又a ,b ,c ∈R +,由柯西不等式

a +2b +3c =(a +2b +

1⎫⎛11

3c ) a +2b +3c ⎪⎝⎭

111⎫2⎛

≥a 2b +3c ⎪=9.

a 2b 3c ⎭⎝

035解析 要求|2a +b |的最大值,只需求(2a +b ) 2的最大值.

∵4a 2-2ab +b 2-c =0, ∴4a 2+b 2=c +2ab ,

∴(2a +b ) 2=4a 2+b 2+4ab =c +2ab +4ab =c +6ab ≤c +

⎛2a +b ⎫2

⎪,即(2a +b ) 2≤4c ,当且仅当2a =b 时,取得等号,即(2a 3

⎝2⎭

+b ) 2取到最大值,

即2a =b 时,|2a +b |取到最大值.

把2a =b 代入4a 2-2ab +b 2-c =0,可得c =4a 2. 12412421⎛1⎫

∴a b c =a 2a 4a =a a = a 1⎪2-1.

1124

∴当a 1时,a b c 1. 答案 -1

036证明 (1)因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .

由于PD 为切线,故∠PDA =∠DBA .

又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,

所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A . 由于AF ⊥EP ,

所以∠PF A =90°.

于是∠BDA =90°. 故AB 是直径.

(2)连接BC ,DC .

由于AB 是直径,

故∠BDA =∠ACB =90°.

在Rt △BDA 与Rt △ACB 中,AB =BA ,AC =BD , 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB =∠CBA .

又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ,

故DC ∥AB .

由于AB ⊥EP ,所以DC ⊥EP ,∠DCE 为直角.

于是ED 为直径.由(1)得ED =AB .


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