§3.1.1方程的根与函数的零点

§3.1.1方程的根与函数的零点

一、教学目标

(1)理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程之间的关系,

(2)掌握零点存在的判定条件及判定方法的简单应用.

(3)在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.

二、教学重点

(1)使学生体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识。

(2)函数零点存在性的判定

三、教学难点

(1)理解函数零点与方程的根之间的联系;

(2)探究发现函数存在零点的判定方法;

【教学方法】

采用以学生活动为主,自主探究,师生互动的教学方法。

四、教学过程

1、提出问题、分析问题

请观察下图,这是桐庐气象局测得桐庐特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有一段被墨水污染了,现在我想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度,你能帮助他吗?

上述实际问题的解决依赖于函数图象与轴是否有交点的问题,即若知道函数解析式令转化为解方程的问题. 回顾所学知识, 即一元二次方程与二次函数的问题.

设计说明:创设情境,激发同学们的学习兴趣,自然引入新课

问题1:一元二次方程的根的存在性是如何判断的?

请同学们作函数的图象。

设计说明:通过图象初步建立方程的根与函数交点间的联系。

我们把使函数的值等于零的实数(;) 叫做函数的零点.

问题2:函数的零点是什么?函数的零点又是什么?

引导探究:推广一般的一元二次方程与相应的二次函数

设计说明:由特殊到一般,符合学生的认知规律。的关系?

2、初步探究、形成概念

函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点.(教师提问:方程与函数的零点有何关系?)

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

设计说明:教师趁热打铁组织学生加强对定义的理解,并回顾总结函数零点的探索过程和体验加深对函数零点的认识和理解,教师继续引导学生探究,使认真理解函数零点的意义

3、简单应用、探索新知

(Ⅰ)利用二次函数的图象,回答下列问题?

①函数有零点吗?有几个?

②观察下面函数的图象,问有零点吗?有几个?

思考:函数零点所对应的函数值为零,那零点附近的函数值呢?

问题3:由以上两步探索,你又可以得出什么样的结论?

归纳总结:函数的零点存在性的结论

如果函数在区间,上的图像是连续不断的一条曲线,并且满足·,那么函数在区间,内有零点,即存在,,使得,这个也就是方程的根。

延伸:这样得到方程在区间内必有根,由此只能判断根的存在,但不能判定有多少个实数根,也不能得出根的值。

4、解决问题,强化概念

①解决引例中的问题

②问题4:函数在区间内有零点·对吗?

5、组织探究,典例训练

①已知函数的图象是连续不断的,有如下的, 对应值表:

1

2

3

4

5

6

123.56

21.45

-7.82

11.57

-53.76

--126.49

函数在区间[1,6]上的零点至少有个

例1、已知函数

(1)函数是否存在零点? 若有零点则有几个?

(2)指出函数零点所在的大致区间。

分析:引导学生探索判断函数零点的方法。第一步:指出可以借助计算机或计算器来作出的对应值表;第二步:作函数的图象。第三步:利用单调性论证

设计说明:零点判定方法的应用,利用表、图象先对函数有一个零点形成直观的认识,再进行论证,符合学生的思维,并且解题的操作性更强,逐步突破难点。

6、尝试练习、巩固新知

函数的零点有个;

7、归纳整理、收获体会

①函数零点的概念、函数的零点与方程的根的关系;

②判断连续不间断的函数零点存在性、个数的方法(代数法、几何法);

③函数与方程转化思想、数形结合的思想。

8、作业布置

基础过关:结合书本练习整理求函数零点个数的方法;

能力提升:已知方程有四个实数根,求实数的取值范围

合作探究:利用计算机作函数的图象。

备课说明:在本节课的设计过程中安排两课时,第一课时主要让学生体会到方程与函数之间有着紧密的联系,即数学中的数形结合、转化思想;再逐步得到函数零点的定义和零点存在性的判定定理,在此基础上,学会简单的应用。第二课时可以结合作业本A 、B 补充相应的求函数零点个数的方法及相应题型,从而在补充,如解决方程的解的情况讨论,再次体现数形结合的魅力。


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