椭圆导学案

§2.2.1椭圆及其标准方程(1)

一、 学习目标

(一) 知识与技能:掌握椭圆的范围、对称性、顶点,掌握的几何意义

以及的相互关系,初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

(二) 过程与方法:利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析

几何以来的第一次,通过初步尝试,使学生经历知识产生与形成的过程,不仅注意对研究结果的掌握和应用,更重视对研究方法的思想渗透及分析问题与解决问题能力的培养。

(三) 情感态度价值观:

(四)

1.从具体情境中抽象出椭圆的模型;

2.掌握椭圆的定义;

3.掌握椭圆的标准方程.

38 P40,文P 32~ P34找出疑惑之处)

复习1:过两点(0,1), (2,0)的直线方程 .

复习2:方程(x -3) 2+(y +1) 2=4 表示以为半径的.

(二)、新课导学

※ 学习探究

取一条定长的细绳,

把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个 .

如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?

思考:移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 经过观察后思考:在移 保持不变,即笔尖 等于常数.

新知1: 我们把平面内与两个定点F 1, F 2的距离之和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫

做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .

反思:若将常数记为2a ,为什么2a >F 1F 2?

当2a =F 1F 2时,其轨迹为;

当2a

试试:

已知F 1(-4,0) ,F 2(4,0),到F 1,F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是.

小结:应用椭圆的定义注意两点:

①分清动点和定点;

②看是否满足常数2a >F 1F 2.

新知2:焦点在x 轴上的椭圆的标准方程

x 2y 2

+2=1(a >b >0) 其中b 2=a 2-c 2 2a b

若焦点在y 轴上,两个焦点坐标 ,

则椭圆的标准方程是 .

※ 典型例题

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

⑴a =4, b =1,焦点在x 轴上;

⑵a =4, c y 轴上;

⑶a +b =10, c =.

x 2y 变式:方程+=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数m 的范围 4m

小结:椭圆标准方程中:a 2=b 2+c 2 ;a >b .

⎛53⎫例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点 , -⎪,求它的标准方⎝22⎭

程 .

变式:椭圆过点 (-2,0),(2,0),(0,3),求它的标准方程.

小结:由椭圆的定义出发,得椭圆标准方程 .

※ 动手试试

x 2

练1. 已知∆ABC 的顶点B 、C 在椭圆+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的3

另外一个焦点在BC 边上,则∆ABC 的周长是( ).

A . B .6

C . D .12

x 2y 练2 .方程-=1表示焦点在y 轴上的椭圆,求实数m 的范围. 9m

三、总结提升

※ 学习小结

1. 椭圆的定义: 2. 椭圆的标准方程:

※ 知识拓展

1997年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息,从1997年2月中旬起, 海尔·波普彗星将逐渐接近地球,过4月以后, 又将渐渐离去, 并预测3000年后, 1997年2月至3月间, 间呢?原来,海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:

1.平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ,则点M 的轨迹为( ).

A .椭圆 B .圆

C .无轨迹 D .椭圆或线段或无轨迹

2.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ).

A .(0,+∞) B .(0,2)

C .(1,+∞) D .(0,1)

x 2y 2

3.如果椭圆+=1上一点P 到焦点F 1的距离等于6,那么点P 到另一个焦点F 2的距10036

离是( ).

A .4 B .14 C .12 D .8

4.椭圆两焦点间的距离为16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15,则椭圆的标准方程

是 .

5.如果点M (x , y ) 在运动过程中,

=10,点M 的轨迹是 ,它的方程是 .

1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

⑴焦点在x 轴上,焦距等于

4,并且经过点P 3, -;

⑵焦点坐标分别为(0, -4), (0,4),a =5;

⑶a +c =10, a -c =4.

x 2y 2

2. 椭圆+=1的焦距为2,求n 的值. 4n

(§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)

1.掌握点的轨迹的求法;

2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程.

一、课前准备

(预习教材理P 41~ P42,文P 34~ P36找出疑惑之处)

x 2y 2

复习1:椭圆上+=1一点P 到椭圆的左焦点F 1的距离为3,则P 到椭圆右焦点F 2的距259

是 .

复习2:在椭圆的标准方程中, a =

6, b =则椭

圆的标准方程是 .

二、新课导学

※ 学习探究

问题:圆x 2+y 2+6x +5=0的圆心和半径分别是什么?

问题:圆上的所有点到 (圆心) 的距离都等于 (半径) ;

反之, 到点(-3,0) 的距离等于2的所有点都在

圆 上.

※ 典型例题

例1在圆x 2+y 2=4上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足. 当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M 的轨迹是什么?

DM 3=,则点M 的轨迹又是什么? 变式: 若点M 在DP 的延长线上,且DP 2

小结:椭圆与圆的关系:圆上每一点的横(纵)坐标不变,而纵(横)坐标伸长或缩短就可得到椭圆.

例2设点A , B 的坐标分别为(-5,0), (5,0),. 直线AM , BM 相交于点M ,且它们的斜率之积4是-,求点M 的轨迹方程 . 9

变式:点A , B 的坐标是(-1,0), (1,0),直线AM , BM 相交于点M ,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2,点M 的轨迹是什么?

※ 动手试试

练1.求到定点A (2,0)与到定直线x =

8

的动点的轨迹方程.

练2.一动圆与圆x 2+y 2+6x +5=0外切,同时与圆x 2+y 2-6x -91=0内切,求动圆圆心的轨迹方程式,并说明它是什么曲线.

三、总结提升

※ 学习小结

1. ①注意求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标,然后找出含有点相关等式;

②相关点法:寻求点M 的坐标x , y 与中间x 0, y 0的关系,然后消去x 0, y 0,得到点M 的轨迹方程.

※ 知识拓展

椭圆的第二定义:

到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (0

定点F 是椭圆的焦点;

定直线l 是椭圆的准线;

常数e 是椭圆的离心率.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:

1.若关于x , y 的方程x 2sin α-y 2cos α=1所表示的曲线是椭圆,则α在( ).

A .第一象限 B .第二象限

C .第三象限 D .第四象限

2.若∆ABC 的个顶点坐标A (-4,0) 、B (4,0),∆ABC 的周长为18,则顶点C 的轨迹方程为( ).

x 2y 2y 2x 2x 2y 2

A .+=1 B .+=1 (y ≠0) C .+=1(y ≠0) 259259169

x 2y 2

D .+=1(y ≠0) 259

43.设定点F 1(0,-2) ,F 2(0,2),动点P 满足条件PF 1+PF 2=m +(m >0) ,则点P 的轨m

迹是( ).

A .椭圆 B .线段

C .不存在 D .椭圆或线段

4.与y 轴相切且和半圆x 2+y 2=4(0≤x ≤2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是 .

5. 设F 1, F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则动点M 的轨迹是.

1.已知三角形 ABC 的一边长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程.

2.点M 与定点F (0,2)的距离和它到定直线y =8的距离的比是1:2,求点的轨迹方程式,并说明轨迹是什么图形.

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(1)

1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形;

2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质,画图.

4346,文P 37~ P40找出疑惑之处) x 2y 2

复习1: 椭圆+=1上一点P 到左焦点的距离是2,那么它到右焦点的距离1612

是 .

x 2y 2

复习2:方程+=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 5m

二、新课导学

※ 学习探究

x 2y 2

问题1:椭圆的标准方程2+2=1(a >b >0) ,它有哪些几何性质呢? a b

图形:

范围:x : y :

对称性:椭圆关于 轴、 轴和 都对称;

顶点:( ),( ),( ),( );

长轴,其长为 ;短轴,其长为 ;

离心率:刻画椭圆 程度.

c 椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率, a

c 记e =,且0

y 2x 2

试试:椭圆+=1的几何性质呢? 169

图形:

范围:x : y :

对称性:椭圆关于 轴、 轴和 都对称;

顶点:( ),( ),( ),( );

长轴,其长为 ;短轴,其长为 ;

c 离心率: e =. a

b c 反思:或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗? a b

※ 典型例题

例1 求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

变式:若椭圆是9x 2+y 2=81呢?

小结:①先化为标准方程,找出a , b ,求出c ;

②注意焦点所在坐标轴.

例2 点M (x , y ) 与定点F (4,0)的距离和它到直线l :x =254的距离的比是常数,求点M 的45轨迹.

小结:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于1)的点的轨迹是椭圆 .

※ 动手试试

练1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

1⑴焦点在x 轴上,a =6,e =; 3

3⑵焦点在y 轴上,c =3,e =; 5

⑶经过点P (-3,0) ,Q (0,-2) ;

3⑷长轴长等到于20,离心率等于. 5

三、总结提升

※ 学习小结

1 .椭圆的几何性质:

图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;

2 .理解椭圆的离心率.

※ 知识拓展

(数学与生活)已知水平地面上有一篮球,在斜平行光线的照射下,其阴影为一椭圆,且篮

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:

x 2y 2

1.若椭圆+,则

m 的值是( ). =1的离心率e =5m

25A

.3 B .3

或 C D 3

2.若椭圆经过原点,且焦点分别为F 1(1,0),F 2(3,0),则其离心率为( ).

3211A . B

. C . D . 4324

23e =的椭圆两焦点为F 1, F 2,过F 1作直线交椭圆于A , B 两点,则3

∆ABF 2的周长为( ).

A .3 B .6 C .12 D .24

x 2y 2

4.已知点P 是椭圆+且以点P 及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积等于=1上的一点,54

1,则点P 的坐标是.

5.某椭圆中心在原点,焦点在x 轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是 .

1.比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁?

x 2y 2

⑴9x +y =36与+=1 ; 1612

x 2y 2

22 ⑵x +9y =36与+=1 . 610

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

经过点P (-

,Q ;

⑵长轴长是短轴长的3倍,且经过点P (3,0);

⑶焦距是8,离心率等于0.8.

22

§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)

1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质;

2.椭圆与直线的关系.

4648,文P 40~ P41找出疑惑之处)

x 2y 2

复习1: 椭圆+=1的 1612

焦点坐标是( )( ) ;

长轴长 、短轴长 ;

离心率 .

复习2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判定?

二、新课导学

※ 学习探究

问题1:想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢?

问题2:椭圆与直线有几种位置关系?又是如何确定?

反思:点与椭圆的位置如何判定?

※ 典型例题

例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F 1上,片门位

于另一个焦点F 2上,由椭圆一个焦点F 1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个

焦点F 2,已知BC ⊥F 1F 2,F 1B =2.8cm F 1F 2=4.5cm ,试建立适当的坐标系,求截口BAC 所在椭圆的方程.

变式:若图形的开口向上,则方程是什么?

小结:①先化为标准方程,找出a , b ,求出c ;

②注意焦点所在坐标轴.

x 2y 2

(理)例2 已知椭圆+=1,直线l : 259

4x -5y +40=0。椭圆上是否存在一点,它到直线l 的距离最小?最小距离是多少?

变式:最大距离是多少?

※ 动手试试

练1已知地球运行的轨道是长半轴长

a =1.50⨯108km ,离心率e =0.0192的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点上,求地球到太阳的最大和最小距离.

x 2

练2.经过椭圆+y 2=1的左焦点F 1作倾斜角为60 的直线l ,直线l 与椭圆相交于A , B 两2

点,求AB 的长.

三、总结提升

※ 学习小结

1 .椭圆在生活中的运用;

2 .椭圆与直线的位置关系:

相交、相切、相离(用∆判定).

※ 知识拓展

直线与椭圆相交,得到弦,

弦长l 1-x 2

=

其中k 为直线的斜率,(x 1, y 1),(x 2, y 2) 是两交点坐标.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: x 2y 2

1.设P 是椭圆 . +=1,P 到两焦点的距离之差为,则∆PF 1F 2是( )1612

A .锐角三角形 B .直角三角形

C .钝角三角形 D .等腰直角三角形

2.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ).

B.

C. 2

D. 1 x 2y 2

3.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1, F 2,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直169

角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为( ).

99A. B. 3 C.

D. 45

4.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列,则其离心率为

x 2y 2

5.椭圆+过原点O 作直线与椭圆相交于A , B 两点,若∆ABF 2=1的焦点分别是F 1和F 2,4520

的面积是20,则直线AB 的方程式是 .

A.

x 2y 2

1. 求下列直线3x +10y -25=0与椭圆+=1的交点坐标. 254

x 2y 232.若椭圆+=1,一组平行直线的斜率是 249

⑴这组直线何时与椭圆相交?

⑵当它们与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上?


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