山东省泰安一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷

山东省泰安一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷

一、选择题(每小题5分,共50分) 1.计算sin (﹣960°)的值为() A . ﹣

B .

C .

D .﹣

2.半径为1m 的圆中,60°的圆心角所对的弧的长度为()m . A .

B .

C . 60

D .1

3.若角α满足条件sin2α<0,cos α﹣sin α<0,则α在() A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限

D .第四象限

4.设向量=(1,2),=(﹣2,1),则下列结论中不正确的是() A .

|﹣|=|

+|

5.将函数y=sin(2x ﹣

)的图象向右平移

个单位,然后纵坐标不变横坐标伸长为原来

B . (﹣)⊥(+) C .

||=||

D .

的2倍,得到函数解析式为() A . y =sin(x

6.下列各式中,值为的是() A . s in15°cos15° B . c os

2

) B . y =cosx C . y =﹣cosx D .y=﹣sinx

﹣sin

2

C . c os42°sin12°﹣sin42°cos12° D .

7.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若 A .

=,

B .

=,则

=()

C .

D .

8.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示,如果A >0,ω>0,|φ|

<()

,则

A . A =4 9.对于

A . f (x )关于直线

对称

,下列选项中正确的是()

B . f (x )是偶函数 D . f (x )的最大值为1

B . ω=1

C . φ=

D .B=4

C . f (x )的最小正周期为2π

10.在△ABC 中,P 是BC 边中点,若

,则△ABC 的形状

是() A . 等边三角形 B . 直角三角形 C . 等腰直角三角形 D . 等腰三角形但不一定是等边三角形

二、填空题(每小题5分,共25分,请在答题纸上作答) 11.已知若

12.求值:

13.若α∈(

,π),cos2α=sin(

=.

﹣α),则sin2α的值为.

是夹角为

,则实数k 的值为.

的两个单位向量,向量

14.有下列说法:

①已知α为第二象限角,则

为第一或第三象限角;

②已知λ为实数,为平面内任一向量,则的模为;

③△ABC 中,若tanA •tanC >1,则△ABC 为锐角三角形; ④已知O 为△ABC 所在平面内一点,且心.则正确的序号是.

15.在平行四边形ABCD 中,AD=2,∠BAD=60°,E 为CD 中点.若的长为.

三、解答题(共75分,请在答题纸上作答) 16.已知向量

(Ⅰ)若四边形ABCD 为平行四边形,求D 点坐标; (Ⅱ)若 17.已知

,求实数的值.

,则AB

,则点O 是△ABC 的重

(Ⅰ)求向量与的夹角θ; (Ⅱ)求 18.已知

,且

.求:

及向量在

方向上的投影.

(Ⅰ) cos (2α﹣β)的值. (Ⅱ)β的值.

19.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角. (Ⅰ)已知小; (Ⅱ)若向量求这个定值.

20.如图,已知OPQ 是半径为

圆心角为

的扇形,C 是该扇形弧上的动点,ABCD 是,且|

|=

,求证:tanAtanB 为定值,并

,且

,求∠C 的大

扇形的内接矩形,记∠BOC 为α. (Ⅰ)若Rt △CBO 的周长为

,求

的值.

(Ⅱ)求的最大值,并求此时α的值.

21.已知函数个交点的距离为

ωx ﹣2,(ω>0),其图象与x 轴相邻两

(Ⅰ)求函数y=f(x )的解析式; (Ⅱ)求使得f (x )≥﹣

的x 的取值集合;

(Ⅲ)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点(﹣

,0),当m 取得最小值时,求g (x )在

上的单调递增区间.

山东省泰安一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷

一、选择题(每小题5分,共50分) 1.计算sin (﹣960°)的值为() A . ﹣

B .

C .

D .﹣

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值.

分析: 把要求的式子利用诱导公式化为sin60°,从而求得结果.

解答: 解:sin (﹣960°)=﹣sin960°=﹣sin (360°×2+240°)=﹣sin240°=sin60°=故选:C .

点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题.

2.半径为1m 的圆中,60°的圆心角所对的弧的长度为()m . A .

B .

C . 60

D .1

考点: 弧长公式. 专题: 计算题.

分析: 根据题意可以利用扇形弧长公式l 扇形直接计算. 解答: 解:根据题意得出:60°=l 扇形=1×

=

半径为1,60°的圆心角所对弧的长度为

故选A .

点评: 此题主要考查了扇形弧长的计算,注意掌握扇形的弧长公式是解题关键.

3.若角α满足条件sin2α<0,cos α﹣sin α<0,则α在() A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D .第四象限

考点: 象限角、轴线角;二倍角的正弦. 专题: 计算题.

分析: 由sin2α<0,确定2α的象限,确定α的象限范围,根据cos α﹣sin α<0,判定α的具体象限.

解答: 解:∵sin2α<0,∴2α在第三、四象限或y 的负半轴.2k π+π<2α<2k π+2π,k ∈Z ,

∴k π+<α<k π+π,k ∈Z

∴α在第二、四象限.又∵cos α﹣sin α<0, ∴α在第二象限. 故选:B .

点评: 本题考查象限角、轴线角,二倍角的正弦,考查分析问题解决问题的能力,是基础题.

4.设向量=(1,2),=(﹣2,1),则下列结论中不正确的是() A .

|﹣|=|

+|

B . (﹣)⊥(+) C .

||=||

D .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由于已知给出了向量的坐标,所以可以利用坐标运算进行选择.

解答: 解:由已知﹣=(3,1),

+=(﹣1,3),所以|﹣|=|+

|=确;

并且3×(﹣1)+1×3=0,所以(﹣)⊥(+)正确;

|

|=

=||,故C 正确;

;故A 正

故:选D

点评: 本题考查了向量的坐标运算,包括加减运算、模的计算.

5.将函数y=sin(2x ﹣

)的图象向右平移

个单位,然后纵坐标不变横坐标伸长为原来

的2倍,得到函数解析式为() A . y =sin(x

) B . y =cosx

C . y =﹣cosx

D .y=﹣sinx

考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 根据三角函数图象变换的公式,结合诱导公式进行化简,可得两次变换后所得到的图象对应函数解析式.

解答: 解:设f (x )=sin(2x ﹣=sin[2(x ﹣

)﹣

]=sin(2x ﹣

),可得y=f(x )的图象向右平移)的图象,

,得到f (x ﹣)

再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),可得f (x ﹣(x ﹣

)=﹣cosx 的图象.

)=sin

∴函数y=sin(2x ﹣)的图象按题中的两步变换,最终得到的图象对应函数解析式为y=

﹣cosx ,

故选:C .

点评: 本题给出三角函数图象的平移和伸缩变换,求得到的图象对应的函数解析式.着重考查了三角函数图象的变换公式和诱导公式等知识,属于基础题.

6.下列各式中,值为的是() A . s in15°cos15° B . c os

2

﹣sin

2

C . c os42°sin12°﹣sin42°cos12° D .

考点: 两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 计算题;三角函数的求值.

分析: 利用两角和与差的三角函数公式,分别计算,即可得出结论.

解答: 解:sin15°cos15°=sin30°=;cos

2

﹣sin

2

=cos=;

cos42°sin12°﹣sin42°cos12°=﹣sin30°=﹣;

=tan45°=.

故选:D .

点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,考查学生的计算能力,正确运用公式是关键.

7.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若 A .

=,

B .

=,则

=()

C .

D .

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 根据两个三角形相似对应边成比例,得到DF 与FC 之比,做FG 平行BD 交AC 于点G ,使用已知向量表示出要求的向量, 得到结果.

解答: 解:∵由题意可得△DEF ∽△BEA ,

∴∴

==,再由AB=CD可得

=,

=.

作FG 平行BD 交AC 于点G , ∴∴∵∴

===

+

+

=, =

===++. =

+

=

=

故选B .

点评: 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,向量是数形结合的典型例子,向量的加减运算是用向量解决问题的基础,要学好运算,才能用向量解决立体几何问题,三角函数问题,好多问题都是以向量为载体的,本题属于中档题.

8.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象如图所示,如果A >0,ω>0,|φ|

<()

,则

A . A =4

B . ω=1

C . φ=

D .B=4

考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题.

分析: 先根据函数的最大值和最小值求得A 和B ,然后利用图象中周期,求得ω,最后根据x=

时取最大值,求得φ.

﹣求得函数的

解答: 解:如图根据函数的最大值和最小值得函数的周期为(当x=

)×4=π,即π=

,ω=2

求得A=2,B=2

时取最大值,即sin (2×

+φ)=1,2×+φ=2kπ+

φ=2kπ﹣∵∴φ=

故选C .

点评: 本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.考查了学生基础知识的运用和图象观察能力. 9.对于

A . f (x )关于直线

对称

,下列选项中正确的是()

B . f (x )是偶函数 D . f (x )的最大值为1

C . f (x )的最小正周期为2π

考点: 三角函数的最值;余弦定理.

专题: 三角函数的求值.

分析: 利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用余弦函数的图象和性质,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论. 解答:

解:对于

=

+

﹣1=cos (2x ﹣

=cos (2x ﹣令x=

)+cos (2x ﹣

)﹣cos (2x+

),

)=cos(2x ﹣

,求得f (x )=0,不是最值,故f (x )的图象不关于直线对称,故A 不正确.

由于不满足f (﹣x )=f(x ),故函数不是偶函数,故B 不正确. 函数的最小正周期为

=π,故C 不正确.

函数的最大值为1,故D 正确,

故选:D .

点评: 本题主要考查三角恒等变换,余弦函数的图象和性质,属于基础题.

10.在△ABC 中,P 是BC 边中点,若是() A . 等边三角形 B . 直角三角形 C . 等腰直角三角形 D . 等腰三角形但不一定是等边三角形

考点: 三角形的形状判断.

专题: 解三角形;平面向量及应用.

,则△ABC 的形状

分析: 将案.

解答: 解:.设|c ∵∴c 即c

+a=﹣+a+b+b,+b=, ==c

﹣﹣a

, +b(

|=c,|

|=a,|

转化为以与为基底的关系,即可得到答

|=b,则,即有:

)=

﹣(a+b)=,

∵P 是BC 边中点, ∴∴c

=(

+b

+

),

+

)=,

﹣(a+b)(

∴c ﹣(a+b)=0且b ﹣(a+b)=0,

∴a=b=c.

故选:A .

点评: 本题考查三角形的形状判断,突出考查向量的运算,考查化归思想与分析能力,属于中档题.

二、填空题(每小题5分,共25分,请在答题纸上作答) 11.已知若

是夹角为

,则实数k 的值为

的两个单位向量,向量.

考点: 数量积表示两个向量的夹角;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由题意可得得

是平面向量的一个基底,再由平面内两个向量共线的条件可

,由此解得k 的值.

=0,且

,且

是平面向量的一个基底. ,∴

,解得 k=﹣,

解答: 解:由题意可得∵向量故答案为﹣.

点评: 本题主要考查平面内两个向量共线的条件,基底的定义,属于中档题.

12.求值:

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值.

分析: 由条件利用三角函数的恒等变换化简可得结果. 解答:

解:

=sin40°•=

=

=1,

=sin40

°•

故答案为:1.

点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,属于基础题.

13.若α∈(

,π),cos2α=sin(

﹣α),则sin2α

考点: 二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值.

分析: 由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得,cos α﹣sin α,或 cos α+sinα的值,由此求得sin2α的值.

解答: 解:∵α∈(∴cos α﹣sin α=∴cos α+sinα=﹣

2

2

,π),且cos2α=sin(﹣α),

(sin α﹣cos α),

,或者sin α﹣cos α=0(因α∈(

,π),舍去)

∴两边平方,可得:1+sin2α=, ∴从而可解得:sin2α=﹣. 故答案为:﹣.

点评: 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用,二倍角公式的应用,属于中档题.

14.有下列说法:

①已知α为第二象限角,则

为第一或第三象限角;

的模为

②已知λ为实数,为平面内任一向量,则

③△ABC 中,若tanA •tanC >1,则△ABC 为锐角三角形; ④已知O 为△ABC 所在平面内一点,且

心.则正确的序号是①③.

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;简易逻辑.

分析: 对四个选项分别进行判断,即可得出结论.

,则点O 是△ABC 的重

解答: 解:①∵角α的终边在第二象限,∴2k π+k π+

<2n π+,n ∈Z ,得

,n ∈Z ,得

<α<2k π+π,k ∈Z ,∴k π+<<

当k 为偶数时,2n π+π+

是第一象限角;当k 为奇数时,(2n+1)

<(2n+1)π+是第三象限角,故正确;

的模为|

②已知λ为实数,为平面内任一向量,则|,故不正确;

③△ABC 中,若tanA •tanC >1,则cos (A+C)<0,∴B 为锐角,tanA •tanC >1,∴A ,C 为锐角,∴△ABC 为锐角三角形,故不正确; ④已知O 为△ABC 所在平面内一点,且

,则点O 是△ABC 的垂

心,故不正确. 故答案为:①③.

点评: 本题考查命题的真假判断,考查学生分析解决问题的能力,知识综合性强.

15.在平行四边形ABCD 中,AD=2,∠BAD=60°,E 为CD 中点.若

,则AB

的长为6.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由已知将所求利用平行四边形的边对应的向量表示,得到关于AB 的方程解之. 解答: 解:因为平行四边形ABCD 中,AD=2,∠BAD=60°,E 为CD 中点.

=

=1,解得AB=6;

=

=4+

故答案为:6.

点评: 本题考查了平面向量的平行四边形法则以及数量积的运算;注意向量的夹角与平行四边形内角关系;属于基础题

三、解答题(共75分,请在答题纸上作答) 16.已知向量

(Ⅰ)若四边形ABCD 为平行四边形,求D 点坐标; (Ⅱ)若

,求实数的值.

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 综合题;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)设D (m ,n ),则由四边形ABCD 为平行四边形,可得(6﹣3,﹣3+4)=(2﹣m ,﹣6﹣n ),求出m ,n ,可得D 点坐标;

(Ⅱ)利用,可得(3,﹣4)=x(6,﹣3)+y(2,﹣6),所以,

求出x ,y ,即可求实数的值.

解答: 解:(Ⅰ)设D (m ,n ),则由四边形ABCD 为平行四边形,可得(6﹣3,﹣3+4)=(2﹣m ,﹣6﹣n ),

所以2﹣m=3,﹣6﹣n=1,所以m=﹣1,n=﹣7, 所以D (﹣1,﹣7);

(Ⅱ)因为,

所以(3,﹣4)=x(6,﹣3)+y(2,﹣6), 所以

所以x=,

y=, 所以=.

点评: 本题考查向量的线性运算,考查平面向量基本定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 17.已知

(Ⅰ)求向量与的夹角θ; (Ⅱ)求

及向量在

方向上的投影.

考点: 平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)将已知等式展开转化为两个向量的模压机数量积的计算问题,利用数量积公式求θ;

(Ⅱ)根据投影的定义,利用数量积公式解答.

解答: 解:(Ⅰ)因为所以

所以cos θ=, 因为θ∈[0,π], 所以

,,.

,即16﹣8cos θ﹣3=9,

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知所以

=

=5,|

|=

所以向量在方向上的投影为:.

点评: 本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的夹角以及一个向量在另一个向量的投影;关键是熟练掌握数量积公式以及几何意义.

18.已知,,且.求:

(Ⅰ) cos (2α﹣β)的值. (Ⅱ)β的值.

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值.

分析: (Ⅰ)由α,β的范围求出α﹣β的范围,由题意和平方关系求出sin α和cos (α﹣β),由两角和的余弦公式求出cos (2α﹣β)=cos[(α﹣β)+α]的值;

(Ⅱ)由两角差的余弦公式求出cos β=cos[α﹣(α﹣β)]的值,再由β的范围求出β的值.

解答: 解:(Ⅰ)解:∵∵∴sin α=

=

,cos (α﹣β)=

,∴α﹣β∈(,),

=,

∴cos (2α﹣β)=cos[(α﹣β)+α]=cos(α﹣β)cos α﹣sin (α﹣β)sin α =

×

×

=

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,

cos β=cos[α﹣(α﹣β)]=cos(α﹣β)cos α+sin(α﹣β)sin α =

×

+

×

=

又∵,∴β=

点评: 本题考查两角和与差的余弦公式,同角三角函数的基本关系的应用,注意角之间的关系以及三角函数值的符号,属于中档题.

19.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角. (Ⅰ)已知小; (Ⅱ)若向量

求这个定值.

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 平面向量及应用.

,,且,求∠C 的大

,且||=,求证:tanAtanB 为定值,并

分析: (Ⅰ)由已知可得

,,且,

=0,进而由两角和的正切公式和诱导公式可得tanC=,进而得到∠C 的大小;

(Ⅱ)由向量|=

=

2

,且||=

,可得

,利用倍角公式和两角和与差的余弦公式,可得

cosAcosB=3sinAsinB,再由同角三角函数的基本关系公式,可得tanAtanB=. 解答: 解:(Ⅰ)∵∴即即

=tan(A+B)=﹣

=

, ,

, ,=0,

,且

即tanC=tan[π﹣(A+B)]=﹣tan (A+B)=又由C 为△ABC 的内角. ∴C=60°

证明:(Ⅱ)∵向量∴|

|=

=

2

=1+cos(A+B)+﹣cos (A ﹣B ),

即cos (A+B)﹣cos (A ﹣B )=0,

即2cos (A+B)=cos(A ﹣B ),

即2(cosAcosB ﹣sinAsinB )=cosAcosB+sinAsinB, 即cosAcosB=3sinAsinB, 即tanAtanB=

点评: 本题考查的知识点是向量的数量积公式,两角和与差三角函数公式,同角三角函数的基本关系公式,是三角函数与向量的综合应用,难度中档.

20.如图,已知OPQ 是半径为

圆心角为

的扇形,C 是该扇形弧上的动点,ABCD 是

扇形的内接矩形,记∠BOC 为α. (Ⅰ)若Rt △CBO 的周长为

,求

的值.

(Ⅱ)求的最大值,并求此时α的值.

考点: 扇形面积公式;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由条件利用直角三角形中的边角关系求出三角形的周长,利用三角函数的倍角公式进行化简进行求解.

(Ⅱ)结合向量的数量积公式,结合三角函数的带动下进行求解. 解答: 解:(Ⅰ)BC=OCsinα=sin α,OB=OCcosα=cos α,

则若Rt △CBO 的周长为则

+

sin α+

cos α=,

, ,

sin α+cosα=

平方得2sin αcos α=, 即

=

=,

解得tan α=3(舍)或tan α=.

===

=.

sin α,OB=OCcosα=

cos α,

(Ⅱ)在Rt △OBC 中,BC=OCsinα=在Rt △ODA 中, OA=DAtan

=

BC=

sin α,

∴AB=OB﹣OA= 则•

sin

α

=

(cos α﹣cos α),

(cos α﹣cos α)

=∵

∴∴当即

时,

有最大值.

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,三角恒等变换,正弦函数的定义域和值域,考察学生的运算和推理能力.

21.已知函数个交点的距离为

ωx ﹣2,(ω>0),其图象与x 轴相邻两

(Ⅰ)求函数y=f(x )的解析式; (Ⅱ)求使得f (x )≥﹣

的x 的取值集合;

(Ⅲ)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点(﹣

,0),当m 取得最小值时,求g (x )在

上的单调递增区间.

考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数线;正弦函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.

分析: (Ⅰ)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f (x )=意可得函数y=f(x )的周期T ,利用周期公式可求ω,即可得解. (Ⅱ)由已知求得sin (2x+2k π≤2x+

≤2k π+

sin (2ωx+),由题

,利用正弦函数的图象和性质可得≤2x+

≤2k π+2π,k ∈Z ,从而解得x 的取值集合. ),由图象经过点(﹣

,0),可得

),

sin[2

,或2k π+

(Ⅲ)先由题意求得g (x )=(﹣由﹣

)+2m+≤x ≤

sin (2x+2m+

]=0,求得当k=0时,m 取得最小值,g (x )=

≤2x+

sin (2x+

,求得,利用正弦函数的单调性即可得解.

解答: (本题满分14分) 解:(Ⅰ)由已知4×

+2=

=

ωx ﹣2=sin (2ωx+

sin2ωx ﹣cos2ωx ﹣

),

由题意可得函数y=f(x )的周期T=π=∴f (x )=

sin (2x+

)…4分

,解得:ω=1.

(Ⅱ)∵f (x )=∴2k π≤2x+

≤2k π+

sin (2x+)≥﹣,可得:sin (2x+≤2x+≤x ≤k π

),

,或2k π+≤2k π+2π,k ∈Z ,

}∪{x/k

≤x ≤k

},k ∈Z …6

∴可解得x 的取值集合为:{x/k

(Ⅲ)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象,则g (x )=

sin (2x+2m+

), ,0),

]=0,即sin (2m ﹣

)=0,

∵图象经过点(﹣∴

sin[2(﹣

+2m+

∴2m ﹣∵m >0,

=kπ(k ∈Z ),m=

∴当k=0时,m 取得最小值,此时最小值为若﹣当当

≤x ≤≤2x+≤2x+

,则≤≤

≤2x+

≤≤x ≤﹣≤x ≤

,此时g (x )=sin (2x+),

,即﹣

,即

时,g (x )单调递增; 时,g (x )单调递增;

,﹣

]和[

]…12分

∴g (x )在上的单调递增区间为:[﹣

点评: 本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的单调性,

三角函数恒等变换的应用,属于基本知识的考查.


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