椭圆教学设计

椭圆及其标准方程(第1课时)

贵州省遵义市习水县第一中学 袁嗣林

【教学及培养目标】

双基:理解椭圆的定义,明确焦点、焦距的概念,掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程;进一步学习类比、数形结合的数学思想方法,理解坐标法及其应用.

能力:通过让学生积极参与,亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程,体验坐标法在处理几何问题中的优越性;在探索椭圆标准方程过程中,培养分析和概括能力.

【教材处理的建议】

重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.

难点:椭圆标准方程的推导与化简.

【教学技巧与辅助手段】

运用多媒体(ppt )和实物投影仪等辅助教学.

【教学探究过程】

一、创设问题情景、引出概念

首先用多媒体演示“神舟六号”飞船绕地球旋转运行的画面,并描绘出运行轨迹图.

探究一 “神舟七号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形?(椭圆)

此外老师可以指出,在生活中,除椭圆外,还有抛物线、双曲线等例子.

再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形,向学生介绍“圆锥曲线”这个名称的来历.

教师指出:椭圆在实际生活中是很常见的,学习椭圆的有关知识也是十分必要的.

(说明:本环节由实际例子引入,让学生形成椭圆的感性认识,感受数学的应用价值,明白生活实践中有许多数学问题,数学来源于实践,同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力.)

二、引导学生探究尝试、归纳提炼形成概念

引导:曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹,那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢?要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹,首先要知道椭圆的几何特征.

学生实验:按课本上介绍的方法,学生用一块纸板,两个图钉,一根无弹性的细绳尝试画椭圆.

让学生自己动手画图,同桌相互切磋,探讨研究.(提醒学生:作图过程中要注意观察椭圆的几何特征,即椭圆上的点要满足怎样的几何条件?)

(说明:按学生的认识规律与心理特征,设置一系列递进的问题,让学生动手实践,在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件,从而认识椭圆概念.)

启发、归纳出椭圆的定义:

平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数(大于| F1F 2|)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

引导学生找定义的关键处:

①平面曲线;

②任意一点到两个定点的距离的和等于常数;

③常数大于| F1F 2|.

(说明:实验中发现椭圆的几何特征,可以挖掘出椭圆定义的内涵,使得学生对椭圆的定义留下深刻印象.)

三、椭圆标准方程的推导

由老师带学生回忆圆的方程的建立过程,归纳求曲线方程的一般步骤:建系列出方程

化简方程.建系一般应遵循简单、优化的原则.

设点

(说明:温故而知新,类比圆的方程的建立过程,归纳出求曲线方程的一般步骤,为下一步学习做好铺垫.)

探究二 怎样建立坐标系,才能使求出的椭圆方程最为简单?

(说明:正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一,结合建立坐标系的一般原则── 利用曲线的几何特征,特别是对称性,可以使曲线方程简单化.可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨,最后让学生选择合理的坐标系.)

经学生讨论易得如下方案:

1.建系.取过焦点

的直线为轴,线段

的垂直平分线为

轴,建立坐标系.

2.设点.

为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距

距离之和等于

(

) .

).

.又设M 与

3.列式.依据椭圆的定义,有

教师启发:这个方程形式复杂,应该化简.化简的目的是去掉根式,可两边平方.但这里有两个根式,如何平方更简捷?

引导学生得出:应该用移项平方,再移项再平方的方法.

(说明:在解决解析几何问题中,熟练运用代数变形技巧是十分重要的,学生常因运算能力不强而功亏一篑.在此应抓住机会加强运算技能的训练.)

4.化简.通过移项, 两次平方后得到:

两边同除以

,得

. (※)

由椭圆的定义可知,

, 即,

思考:观察上图,能从中找出表

.令

就是

的线段吗?由图可知

,那么(※)

.(

此即为椭圆的标准方程.它所表示椭圆的焦点在轴上,焦点是坐标原点的椭圆方程.

,中心在

探究三:如果椭圆的焦点F 1,F 2在y 轴上,线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴,a ,b ,c 意义同上,椭圆的方程形式又如何?

学生讨论、交流,合情猜想可得,焦点变成, 只要将方程

中的调换,即可得(),它所表示的是焦点在轴上的椭圆标准

方程.

要求学生课后推导验证.

(说明:发挥学生的直觉思维,类比得到焦点在

引导学生注意理解以下几点:

① 在椭圆的两种标准方程中,都有

② 在椭圆的两种标准方程中,由于一个坐标轴上;

椭圆的三个参数

大小不确定.

四、研究例题、形成技能

例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F 1(0,-4),F 2(0,4),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10,求它的标准方程.

(先让学生分析解题思路.强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性.)

之间的关系是

,其中

,所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪的要求;

轴上的椭圆的标准方程.)

解:因为椭圆的焦点在

轴上,所以设它的标准方程为

因为2a =10,2c =8,所以a =5,b =4.

所以,b 2=a 2-c 2=52-42=9.

所以所求椭圆标准方程为

例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F 1(-2,0)和F 2(2, 0),过点P 0(

, ),

求它的标准方程.

(先让学生分析解题思路.除了强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性外,还要注意引导学生分析本例与例1的不同点.)

解:因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为

由椭圆的定义知,

所以, 所以,

.又

所以所求标准方程为 另法:因为

所以可设所求方程椭圆方程.

.将点P 0(

, )的坐标代入可求出,从而求出

(说明:由两个例题可以总结椭圆方程有两种求法:其一由定义求出与,根据条件写出方程;其二是由a ,b ,c 的关系和椭圆标准方程,由点在椭圆上的条件,用待定系数的办法得出方程.可以达到渗透求轨迹的常用方法的目的.另外要注意求方程的基本步骤.)

五、课堂形成性练习,即时反馈

1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)a =4,b =3,焦点在x 轴;

(2)a =5,c =2,焦点在y 轴上. 2.椭圆

的焦距是,焦点坐标为;若CD 为过左焦点

的弦,则

的周长为 .

六、知识整理,形成系统(由学生归纳)

1.椭圆的定义(注意几何特征和三个条件).

2.推导椭圆的标准方程(注意焦点的位置与方程形式的关系,直接法求轨迹方程).

3.求椭圆方程的方法(待定系数法求轨迹方程).

七、布置作业,巩固提高

1.课本P40.1-3.

2.小组合作自编题(总题数4个,可以填空、选择或解答题.要求说明编题的基本思路).

3.探索题:上网查询有关椭圆的几何作法,对不同的作法作比较,并研究交流其作法根据.


相关内容

  • [用椭圆工具画图]教学设计

    <用椭圆工具画图> 教材分析 <用椭圆工具画图>是WINDOWS 画图板一个知识点,而WINDOWS 画图板也是小学生乐学.易学的一部分知识. 教学重点 掌握椭圆的画法,能够利用椭圆工具样式区提供的样式画各种椭圆. ...


  • 椭圆的简单几何性质教学设计

    <椭圆的简单几何性质>教学设计 [教学目标] 1. 知识目标: (1).使学生掌握椭圆的性质,能根据性质正确地作出椭圆草图:掌握椭圆中 a .b .c 的几何意义及相互关系: (2) 通过对椭圆标准方程的讨论,使学生知道在解析几 ...


  • 椭圆的简单几何性质

    [说] 教材分析: <椭圆的简单几何性质>是人教版选修2-1的内容.本课是在学生学习了椭圆的定义.标准方程的基础上,根据方程研究曲线的性质.先引导学生观察椭圆----几何直观,了解应该关注椭圆的哪些方面的性质,然后再引导学生考虑 ...


  • [椭圆的标准方程]说课稿.doc

    各位专家.老师大家好,我是来自辽宁省辽阳市辽化第二高级中学的曹士斌, 今天我说课的内容是<课标>教材人教B 版数学选修系列2第一册第二章第二单元第一节<椭圆的标准方程>第一课时.下面我将从教学背景分析.教法与学法设计 ...


  • 再谈椭圆及其标准方程的教学

    再谈椭圆及其标准方程的教学 郑新春 )(北京丰台二中 100071 1 问题提出 椭圆是解析几何中最重要的概念之一,长期以来,针对它的教学,同行们进行了深入的研究,很多文献对我们都有重要的启示意义,但仍然还存在一些问题不尽人意. 首先是椭圆 ...


  • 求解含直角三角形的椭圆离心率(公开课教案)

    求解含直角三角形的椭圆离心率 高二数学组 陈佳聪 教学目标: 1.深刻理解椭圆定义,牢抓椭圆上点到两焦点距离只和为长轴长这一定义式: 2.充分运用椭圆中各个量之间的关系--abc,e 2 2 2 c a 3.熟练运用直角三角形各边与各 ...


  • 椭圆封头容器的计算机辅助计算.aspx

    第7卷第2期实验科学与技术 ・39・ 椭圆封头容器的计算机辅助计算 徐德华 (怀化学院计算机科学与技术系,湖南怀化418008) 摘要:阐述了精确计算任意非标准椭圆封头的客积及椭圆封夹型发酵罐.贮罐的公称容积的计算方法:应用计算机辅助设计的 ...


  • 椭圆的标准方程教案

    课题 时间 教学 目标 椭圆的标准方程 2014 年 11 月 25 日 课型 班级 新授课 2.3 教师 教具 宋玉锁 投影仪,多媒体 (1)知识与能力目标:学习椭圆的定义,掌握椭圆标准方程的两种形式及其推 导过程:能根据条件确定椭圆的标 ...


  • 椭圆及其标准方程教案

    椭圆及其标准方程 一.教学目标: 1.知识与技能目标: (1)掌握椭圆定义和标准方程. (2)能用椭圆的定义解决一些简单的问题. 2.过程与方法目标: (1)通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导,培养学生发现规律.认识规律并利 用规律解决实际 ...