专题7.23:内角角平分线定理的应用研究与拓展

专题7.23:内角角平分线定理的应用研究与拓展

【课本溯源】

(1)叙述并证明三角形内角角平分线定理.

(2)请类比三角形内角角平分线定理给出三角形外角角平分线定理,并加以证明.

【探究拓展】

x 2y 2

探究1:已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点F 1,O 为坐标原点,点P 在椭圆上, a b

F 1P F 1O )(λ>0) 则椭圆的离心率为 点Q 在椭圆的右准线上,若PQ =2F 1O , F 1Q =λ(+|F 1P ||F 1O |

___________.

探究2:已知椭圆E 经过点A (2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1, F 2在x 轴上,离心率e =

(1)求椭圆E 的方程;

(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程;

(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点?

若存在,请找出;若不存在,说明理由

1 2

x 2y 2

探究3:直角坐标系xoy 中,已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左右顶点分别是A 1, A 2,上、下顶点a b

分别为B 2, B 1,点P (a , m )(m >0) 是椭圆C 上一点,PO ⊥A 2B 2,直线PO 分别交A 1B 1、A 2B 2于点3

5

M , N

(1)求椭圆C 的离心率;

(2)若MN =421,求椭圆C 的方程; 7

(3)在(2)的条件下,设R 点是椭圆C 上位于第一象限内的点,F 1、F 2是椭圆C 的左右焦点,RQ 平分∠F 1RF 2,且与y 轴交于Q 点,求点Q 纵坐标的取值范围.

3a 4b , ) , K A 2B 2·K OP =-1, 55

1∴4b 2=3a2=4(a2-c 2), ∴a 2=4c2, ∴e= ①

2(1)P (

421(2) MN==7x 2y 2a 2+b 2722+=1 ,∴22= ②由①②得,a =4,b =3, ∴43a b 1211+a 2b 22

(3)cosα=cosβ,

1

∴(-1-x 0, -y 0)(-x 0, t -y 0)

(x 0+1) +y 022=(1-x 0, -y 0)(-x 0, t -y 0) (x 0-1) +y 022

化简得: ∴t =-

解法研究: 1y 0,∵0

解法一:利用三角形内角角平分线定理

解法二:利用三角形内心的向量表示研究角平分线所在直线的方程

【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?


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