高三数学填空题把关难题详解与解析

2012届高三

12.如图,已知二次函数y =ax +bx +c (a ,b ,c 为实数,a ≠0)的图象过点C (t , 2) ,且与x 轴交于A ,B 两点,若AC ⊥BC ,则a 的值为

.

2

【答案】-解法一:

1 2

b c

设A (x 1,0), B (x 2,0) ,则x 1+x 2=-, x 1x 2=, AC =(t -x 1,2), BC =(t -x 2,2),

a a

∵AC ⊥BC ,∴(t -x 1)(t -x 2) +4=0,整理得t -(x 1+x 2) t +x 1x 2+4=0, ∴t +

2

2

b c

t ++4=0, ∴at 2+bt +c +4a =0, a a

2

2

又函数y =ax +bx +c 的图象过点C (t , 2) ,∴at +bt +c =2, 比较上述两式得4a =-2, ∴a =-解法二:

将二次函数y =ax +bx +c 的图像向右平移到点C 落在y 轴上,此时得二次函数的表达式为y =ax +dx +2,然后设A (x 1,0), B (x 2,0) ,∵AC ⊥BC ,∴x 1x 2+4=0,又x 1x 2=∴

2

1

。 2

2

2,a

21=-4, ∴a =-。 a 2

说明:解法一由于字母多,因此对运算的要求高,但关键是代数变形能力,形式的对比,及整体代换的思想;虽然字母多,但没有繁杂的计算,是训练运算能力的好题。

解法二看似简单,但学生几乎不可能想到平移不改变a 的值,甚至告知学生这一结论,很多人都不能理解,教师应尽量少讲此类所谓的巧法。

解法二建议如下讲解:求a 的值,意味着a 为定值,那么可以考虑特殊值法。然后设法证明确实与变量b , c , t 无关,这样从知识和方法上得到升华。

14.将函数y =

-x 2+2x +3-3(x ∈[0, 2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐

角),若所得曲线仍是一个函数的图象,则θ的最大值为 .

1

【答案】

π。 3

-x 2+2x +3-(x

∈[0, 2])的图象(圆(x -1) 2+(y 2=4的一部

解:数形结合 作出函数y =

分,落在x 轴及其上方)

考虑圆(x -1) +(y =4在点(0,0)处的切线y =kx ,

2

2

=2⇒k =

,3

θ的最大值为切线y =kx 逆时针旋转到与y 轴重合时所转过的角,∴θ的最大值为

π。 3

说明:(1)将函数图形旋转转化为直线旋转是简化的关键。

(2)此题学生在临考时猜想:所填角为特殊角300,450,600之一。可见能力题往往是命题人的一厢情愿。

(3)将条件θ为锐角改为钝角,求转过的最小钝角,则难度增加(转化为圆心与切点连线的旋转问题)。

南京市2012届高三3月第二次模拟考试

13. 在面积为2的∆ABC 中,E,F 分别是AB ,AC 的中点,点P 在直线EF 上,则⋅+的最小值是______________

【答案】解法一:问题可转化为已知∆PBC 的面积为1,求⋅+的最小值。 设∆PBC 中点P , B , C 所对的边分别为p , b , c , 由题设知bc sin P =2,

2

2

2

PC ⋅PB +BC =bc cos P +(b 2+c 2-2bc cos P ) =b 2+c 2-bc cos P

2(2-cos P )

≥2bc -bc cos P =

sin P

从而进一步转化为

2-cos P

的最小值。(可数形结合,可用引入辅助角化一个三角函数的

sin P

形式,可用万能公式转化后换元等,下略) 解法二:建立坐标系,立即得目标函数。

由题设知,∆PBC 的面积为1,以B 为原点,BC 所在直线为x 轴,过点B 与直线BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系,设C (a ,0), P (t , )(a >0) ,

2 2则PB =(-t , -), PC =(a -t , -),

a a

2

a

24a 243a 22

≥0+ ∴PC ⋅PB +BC =-t (a -t ) +2+a =(t -) +2+

a 2a 4

2

2a

当且仅当t =, a =⋅

+的最小值是

2说明:多变量函数求最值常需选定主变量,解法二学生易接受些。

14.已知关于x 的方程x +2a log 2(x +2) +a -3=0有唯一解,则实数a 的值为________

【答案】1

解:注意到函数f (x ) =x +2a log 2(x +2) +a -3为偶函数, ∴方程x +2a log 2(x +2) +a -3=0的唯一解为x =0, 由2a +a -3=0解得a =1或a =-3,

当a =1时,f (x ) =x +2log 2(x +2) -2在[0,+∞) 上为增函数,满足题设条件, 当a =-3时,令log 2(x +2) =t (t ≥1) ,则函数f (x ) =x +2a log 2(x +2) +a -3可化为g (t ) =2-6t +4(t ≥1) ,∵g (2)

t

2

2

2

2

2

222

222

2

2222

∴方程g (t ) =0在区间(2,5)上=4-0, ,

有解,∴不满足题设,故舍去,∴a =1。

另解:方程x +2a log 2(x +2) +a -3=0可化为2+4=6t 然后数形结合,结合

2

2

2

t

(2t +4) '|t =1=2ln 2

说明:此类习题仅作为考试题无可厚非,作为复习训练题几乎没有价值。

苏北四市(徐、淮、连、宿)第二次质量检测

12、已知等差数列{a n },{b n }的前n项和分别为S n 和T n ,若数,则n的值为 【答案】15

解:设S n =An (7n +45), T n =An (n +3), 则可求得a n =A (14n +38), b n =A (2n +2) , ∴

S n 7n +45a =,且n 是整T n n +3b 2n

a n A (14n +38) a n +16

==3+,∴当n =15时,n 是整数。 b 2n A (4n +2) 2n +1b 2n

2

说明:此解法学生须知:数列{a n }为等差数列的一个充要条件是其前n 项和S n =an +bn 。 13.平面直角坐标系中,已知点A (1,-2),B (4,0),P(a ,1),N(a +1,1),当四边形PABN 的周长最小时,过三点A 、P 、N 的圆的圆心坐标是

3

【答案】(3,-)

解:∵AB ,PN 的长为定值,∴只要求PA +BN 的最小值。

98

PA +BN =其几何意义为动点(a ,0) 到两定点(1,3)和(3,

5

时,其和取得最小值。然后由线段PN 的中垂线x =3,2

1179

与线段PA 的中垂线y +=-(x -) 的交点(3,-) 即为所求圆心坐标。

2248

-1)距离之和,∴三点共线时,即a =说明:此题运算量较大。

14.已知∆ABC 的三边长a , b , c 成等差数列,且a +b +c =84, 则实数b的取值范围是

【答案】

解:不妨设a =b -d , c =b +d (d ≥0) ,

2

由(b -d ) +b +(b +d ) =84整理得d =42-

2

2

2

2

2

2

32

b , 2

2

⎧(b -d ) +b >b +d ⎧⎪7b >168再由⎨2得⎨2,解之得

d ≥0⎪⎩⎩

6b ≤168

苏中三市(南通、泰州、扬州)2012届高三第一次调研测试

12.若a 1x ≤sin x ≤a 2x 对任意的x ∈[0,]都成立,则a 2-a 1的最小值为

π

2

【答案】1-2

0)处的切线解:当过原点的直线过点π, 1时,a 1取得最大值2;当过原点的直线为点(0,

()

时,a 2取得最小值1.

13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1, F 2分别为椭圆

x 2y 2

+=1(a >b >0) 的左、右焦点,B ,C 分别为椭圆的上、a 2b 2

下顶点,直线BF 2与椭圆的另一个交点为D ,若

7

,则直线CD 的斜率为 cos ∠F 1BF 2=25

【答案】

25

解法一:由cos ∠F 1BF 2=

4b 47

得cos ∠OBF 2==,进一步求得直线BD 的斜率为-,

5a 325

4⎧9y =-x +b (y -b ) 2⎪b 2-y 2b +y 9⎪3⇒=⇒=由⎨2,

222

a b b -y 25⎪x +y =1

⎪⎩a 2b 2

4

∴直线CD 的斜率为

y +b y +b 9412

。 ==⨯=

x 25325-(y -b ) 4

2b 73解法二:由cos ∠F 1BF 2=得e =,因为-2=k BD ⋅k CD =-b ⋅k CD ,所以k CD =bc ,

c 255a a 2

故k CD =bc =12. 2

25a

说明:解法一中,在明确条件和目标的过程中,发现能整体代换是简化运算的关键,否则计

算量较大;解法二中,要注意体会椭圆中“k BD ⋅k CD =-b 2”这一重要结论.

a

14.各项均为正偶数的数列a 1, a 2, a 3, a 4中,前三项依次成公差为d (d >0) 的等差数列,后三项依次成公比为q 的等比数列,若a 4-a 1=88,则q 的所有可能的值构成的集合为 . 【答案】

37

2

解:设这四个数为a 1,a 1+d ,a 1+2d ,a 1+88,其中a 1,d 均为正偶数,则

(a 1+2d ) 2=(a 1+d )(a 1+88) ,整理得a 1=

4d (22-d )

>0,

3d -88

(注意体会这里用“a 1>0”而不用“a 1≥2”的好处,实际是一种估算能力) 所以(d -22)(3d -88)

3所以d 的所有可能值为24,26,28, 当d =24时,a 1=12,q =5;

3当d =26时,a 1=(舍去);

5当d =28时,a 1=168,q =8,

所以q 的所有可能值构成的集合为 .

37

{}

盐城市2012届高三年级第二次模拟考试

13.设f (x ) 是定义在R 上的可导函数,且满足f (x ) +xf (x ) >0. 则不等式

'

f (x +1) >x -1f (x 2-1) 的解集为

【答案】{x |1≤x

解:令g (x ) =xf (x ) ,则g '(x ) =f (x ) +xf (x ) >0,∴g (x ) 为增函数, 不等式f

(x +1) >

'

x -1f (x 2-1) >,

5

>1≤x g

,由⎪⎩x -1≥0

∴不等式f (x +1) >

x -1f (x 2-1) 的解集为{x |1≤x

'

说明:体会如何构造函数,又如已知f (x ) +2xf (x ) >0如何构造函数等。

a 6=21,14.在等差数列{a n }中,记数列⎨a 2=5,

⎧1⎫m

若S 2n +1-S n ≤⎬的前n 项和为S n ,

15⎩a n ⎭

对n ∈N +恒成立,则正整数m 的最小值为. 【答案】5

解:由题设得a n =4n -3,∴S 2n +1-S n ≤令T n =

m 111m

可化为++ +≤, 154n +14n +58n +115

111

, ++ +

4n +14n +58n +111111

则T n +1=, ++ +++

4n +54n +98n +18n +58n +9

111111

∴T n +1-T n =+-

8n +58n +94n +18n +28n +24n +1

1114

∴当n =1时,T n 取得最大值+=,

5945

m 1414由解得m ≥,∴正整数m 的最小值为5。 ≥15453

6


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