数学的基本思想

数学的基本思想

摘要 本文主要探讨了数学的基本思想。通过对构造思想和转化思想的涵义、分类与它们之间的关系解析,得出数学的基本思想是构造思想和转化思想,其它的数学思想都可以通过构造和转化纳入这两个思想范畴。

关键字:基本思想 构造 转化

正文:

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括后产生的本质认识。数学的基本思想则是数学思想中的具有本质性特征和基本重要性的一些思想,处于较高层次;其它数学思想可以由这些“数学的基本思想”演变出来,派生出来,发展出来。[1]数学思想内容广泛,错综复杂,但是都可以归纳为“构造”和“转化”这两个数学思想范畴,其它的数学思想处于更低层次的、从属的地位。

构造思想和转化思想就数学中的两大基本思想,这是由数学和数学方法的本质所决定的。[2]数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。[3]数学研究的对象是数量、结构、变化、空间模型。数学对象是极度抽象的、完全撇开具体内容的形式和关系,具有明显的纯粹结构性质的特点。数学的这种结构性的特点决定了构造是数学中一种基本思想。我们常说“列方程”、“作图”、“建立直角坐标系”等等,都具有明显的构造性的色彩。构造思想和转化思想也是数学解题的基本思想。数学问题的求解过程主要是转化和构造。转化是思维的进程,构造是实现的手段。不断的转化和构造,就成为解决数学问题的主线。当我们把具体的对象构造出来以后,问题就很容易解决了。

例:勾股定理的证明(赵爽法)

用图把要证明的结论构造出来,从赵爽的图1,可以看

ABCD 的面积是4个“朱(红) 实”加上一个“黄实”,即

c 2=4(ab ) +(b -a ) 2=a 2+b 2

2 出,正方形

直角三角形△AED 的斜边之平方等于两直角边平方和。

构造思想是通过构造来建立数学理论、解决数学问题的

想。所谓构造,就是构建结构或体系。构造对象或指出达到

方式和途径。构造可分宏观构造和微观构造。公理化就是宏图1 一种数学思某种目标的观构造。比如:皮亚诺关于自然数的五条公理系统,欧几里得几何是由五条公理构成的一个公理系统。由此可见构造思想对于数学的发展处在战略思想的位置。微观构造,则贯穿于数学的定义、证明、解题。如:构造图形、构造函数、构造辅助元素、构造模型、构造反例、构造算法等等。

转化也称化归,是数学特有的思想。结构A 和结构B 的具体内容不同,但从抽象关系角度看其本质相同或部分相同。如果结构A 的问题难以解决,而结构B 较容易处理,我们将结构A 中的问题转化为易于处理的结构B 。通俗地说,转化是指将未知的,陌生的,复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的,熟悉的,简单的问题,从而使问题顺利解决的数学思想。数学的高度抽象的结构性的特点为转化思想提供了前提和基础。

转化思想可以分为两类。第一类可分为:特殊化思想、一般化思想、变换思想。第二类可分为:映射思想、数形结合思想。特殊化是从对象的一个给定集合,转而考虑那些包含在这个集合内的较小的集合。

特殊情形相对一般情形比较简单、直观和具体。特殊情形的解答和解答过程蕴含一般问题的解法或思路。特殊化可以通过特例、分类、分步等方法。一般化是将要处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中进行研究,再把解决一般情形的技巧、方法或结果应用到特殊问题,最后解决特殊的问题。特殊化和一般化是相辅相成、和谐统一的两个重要思想。变换思想就是将未解决的问题进行一系列等价变换为已知的问题,达到化繁为简、化难为易。常用的变换方式有:数式变形、变量替换、几何变换、命题转化。映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的。[4]比如:实数集与数轴上的点集的映射。数形结合是综合运用转化与构造的思想。数形结合是一种转化思想,但转化前要进行必要的构造,构造出适当的形或数以供转化。笛卡儿创立的解析几何,建立了数形结合的典范。

构造和转化两种思想互相补充。构造是转化的基础,合适的构造是促成转化的手段。如:采用直角坐标系,几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。不同结构之间的转化体现了各种结构之间的相互联系和内在关系,转化使其相互沟通。所以构造和转化之间的关系十分密切,构造和转化共同组成了数学的基本思想。

参考文献

[1] 史宁中主编. 《义务教育是新课程标准(2011版)解读》[M].北京:北京师范大学出版社,2012.2:118-120 [2] 欧阳维诚 张垚 肖果能. 《初等数学思想方法选讲》[M].长沙:湖南教育出版社,2000.1

[3] [4]


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