求阴影面积的常用方法

求阴影面积的常用方法

1、特殊位置法

例6. 如图8,已知两个半圆中长为4的弦AB 与直径CD 平行,且与小半圆相切,那么图中阴影部分的面积等于_______。

分析:在大半圆中,任意移动小半圆的位置,阴影部分面积都保持不变,所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置(如图9)。

解:移动小半圆至两半圆同圆心位置,如图9。设切点为H ,连结OH 、OB ,由垂径定理,知BH =AB 切小半圆于点H ,故OH ⊥AB ,故OB -OH

2

2

1

AB =2。又2

=BH 2=4

∴S 阴影=

111

πOB 2-πOH 2=π(OB 2-OH 2) =2π 222

七、代数法

将图形按形状、大小分类,并设其面积为未知数,通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。 例7. 如图10,正方形的边长为a ,分别以两个对角顶点为圆心、以a 为半径画弧,求图中阴影部分的面积。

解:设阴影部分的面积为x ,剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y ,则图中正方形的面积是x +2y ,而x +y 是以半径为a 的圆面积的

1π2ππ222

。故有x +2y =a ,x +y =a 。解得x =(-1) a 。即阴影部分的面积是(-1) a 。 4422

需要说明的是,在求阴影部分图形的面积问题时,要具体问题具体分析,从而选取一种合理、简捷的方法。

2、转化法

此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形,再利用规则图形的面积公式,计算出所求的不规则图形的面积。

例1. 如图1,点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点,AB=12,则图中由弦AC 、AD 和CD 围成的阴影部分图形的面积为_________。

1

分析:连结CD 、OC 、OD ,如图2。易证AB//CD,则∆ACD 和∆OCD 的面积相等,所以图中阴影部分的面积就等

于扇形OCD 的面积。易得∠COD =60︒,故S 阴影=S 扇形OCD

60π⋅62==6π。

360

3、和差法

有一些图形结构复杂,通过观察,分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的,再利用这些规则图形的面积的和或差来求,从而达到化繁为简的目的。

⌒1

例2. 如图3是一个商标的设计图案,AB=2BC=8,ADE 为圆,求阴影部分面积。

4

分析:经观察图3可以分解出以下规则图形:矩形ABCD 、扇形ADE 、Rt ∆EBC 。所以,

S 阴影=S 扇形A D E +S 矩形A B C -D S Rt ∆EBC

90π⋅421

=+4⨯8-⨯4⨯12=4π+8。

3602

4、重叠法

就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构,理顺图形间的大小关系。

例3. 如图4,正方形的边长为a ,以各边为直径在正方形内作半圆,求所围成阴影部分图形的面积。

解:因为4个半圆覆盖了正方形,而且阴影部分重叠了两次,所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。故S 阴影=2π⋅() -a =( 四、补形法

将不规则图形补成特殊图形,利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。

2

a

2

22

π

2

-1) a 2。

例4. 如图5,在四边形ABCD 中,AB=2,CD=1,∠A =60︒,∠B =∠D =90︒,求四边形ABCD 所在阴影部分的面积。

解:延长

BC 、AD ,交于点

E ,因为∠A =60︒,∠B =90︒,所以∠E =30︒,又

∠E D =C 90︒,所以CE =2CD ,DE =3,易求得BE =23,所以

S 阴影=S ∆ABE -S ∆CDE =

五、拼接法

例5. 如图6,在一块长为a 、宽为b 的矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽都是c 个单位),求阴影部分草地的面积。

113。 AB ⋅BE -CD ⋅DE =

222

解:(1)将“小路”沿着左右两个边界“剪去”;(2)将左侧的草地向右平移c 个单位;(3)得到一个新的矩形(如图7)。由于新矩形的纵向宽仍然为b ,水平方向的长变成了(a -c ) ,所以草地的面积为b (a -c ) =ab -bc 。

3


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