还原真理发现的过程

  摘要:近十年来,各高校逐渐加强了对数学建模课程的重视。本文从数学建模课程的教学目的和教学实际出发,提出数学建模课程应着力于还原真理发现的过程,力求引导学生学会探究真理,学会发现问题和解决问题的方式方法,使学生通过这门课程的学习体会真理发现的过程。

  关键词:数学建模,教学方法,能力培养

  中图分类号: G642

  一、引言

  国际数学教育委员会前主席、数学家H. Freudenthal (1908-1990)有一句名言:“没有一种数学思想,以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决以后,相应地发展成一种形式化的技巧,结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽。”(Freudenthal,Hans. 1983. Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht:Reidel. P. 9)。事实上,教科书里陈述的数学,往往是“冰冷的美丽”。并且在教师讲授知识的过程中,由于各方面的因素制约,往往很难在课堂上讲授“火热的思考”,结果使得学生“知其然”却不知“其所以然”。

  数学建模的课程以案例教学为主,即从实际问题出发,根据对象的特征和建模目的,抓住问题本质提出假设,并根据假设用数学的语言描述对象的内在规律,进而建立模型,运用多种数学方法、数学软件和计算机技术求解模型,最后对模型进行分析和检验,如果结果与实际不符,还需要补充假设,重新建模。因此数学建模课程有条件引领学生以发现者的身份去发现问题和解决问题,在数学专业课程中处于独特的地位。这也是数学建模课程越来越受到重视的原因。

  二、数学建模的优势

  数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程,这使得数学建模课程在讲授“火热的思考”方面有其独特的优势。因此如何发挥其特点,使学生通过这门课程的学习体会真理发现的过程,值得大家来探讨。

  数学建模的授课过程基本上是首先提出一个问题,然后通过建立数学模型解决这个问题。因此授课的关键在于如何建立一个适当的数学模型,并通过适当的方法求出模型的解。事实上,在实际生活中,往往很难一下找到一个合适的模型,通常是先建立一个大致的模型,然后根据实际情况加以修正,修正的过程可能更贴近实际情况,也可能由于修正方式不当导致结果更偏离实际,甚至因为初始模型选取不当,不得不推翻以前的所有工作,重新再来。这种反复推敲修改的思考模式,体现了“火热的思考”过程,是数学建模课程的突出特点。

  传染病模型的建立就很恰当地体现了这一特点。虽然不同类型的传染病有着不同的传播特点,但是按照一般的传播机理,可设时刻t的病人人数x(t)是连续可微函数,并且每天每个病人有效接触(足以使人致病的接触)的人数为常数A,再设t=0时有x0个病人,即得微分方程

  ,

  解得x(t)=x0eAt

  结果表明,随着t的增加,病人人数无限增大,这意味着流行病暴发,与当今医疗卫生发展状况不符,所以说这个模型建立的不合适,需要改进。因为在实际情况下,病人有效接触的人群中,有健康人也有病人,而病人是不会被传染的,所以修改假设,将人群分为健康者和病人。设时刻t这两类人在总人数N中所占比例分别记作s(t)和i(t),A仍为日接触率。则每天共有ANs(t)i(t)个健康者被感染,即有

  记初始时刻病人比例为i0,则

  ,i(0)=i0

  这个方程是logistic模型,当t→∞时,i→1,即最终所有人都会被传染。这与实际情况也是不符的。因为在实际情况下,病人是可以治愈的,而模型中并没有考虑这个条件,所以需要继续修改模型。

  假设健康者可以被传染成为病人,病人也可以治愈变成健康者,为模型添加条件如下:每天被治愈的病人人数占病人总人数的比例为常数B,称为日治愈率,所以这种传染病的平均传染期为1/B。记C=A/B,则C表示整个传染期内每个病人有效接触的平均人数,叫做接触数。由于治愈的病人仍可能被再次感染,此时修改方程为

  ,i(0)=i0

  至此,我们终于建成了一个可以应用于实际的模型(该模型的讨论已经超出本文,有兴趣的读者可参考文献[1])。然而,到这里还没有完,因为这一模型仅仅适用于像伤风、痢疾等治愈后免疫力很低的疾病。有些疾病如天花、麻疹等治愈后一段时间内有很强的抵抗力,有些甚至一生只得一次。这些治愈的病人既不是健康的可以被感染者,也不是患病者,他们已经退出免疫系统(实际上因病死亡的人群也可以归入此类)。设总人数为N不变,人群分为健康者、病人和移出者,时刻t三类人所占的比例分别为s(t)、i(t)和r(t)。再记初始时刻的健康者比例为s0,其余符号与前面相同。则可得到如下方程组

  对绝大多数学生而言,这种需要反复修改推敲,甚至需要从头开始的方式他们很难适应,甚至有些学生认为这是在浪费时间。他们更喜欢那种不走弯路,一步到位的方式,也就是只讲后面两个符合实际的模型,不讲前面两个模型。学生有这种心态是完全可以理解的,毕竟以前的教学科目都是有例题可以模仿有答案可以参考的,有些甚至只是变变数字,解题方法和手段都有固定的模式。但是需要指出的是,在这个例子中,通过逐步探索、逐步修改的方式来寻找合适的模型,并不是在浪费时间,而是在力求还原建立模型的思考过程。虽然建立的前两个模型适用范围很局限,但这是解决问题的必经阶段。事实上在大多数实际情况下,尤其是进行学术研究时,走弯路和走错路都是不可避免的。

  在学术研究的领域里,发现真理的道路都是曲折的,没有哪个定义定理没有经过任何修改。甚至连爱因斯坦这样知名的科学家也会发现自己对某个问题的研究出现偏差,不得不重新整理重新开始。探究问题的道路从来都不是平坦的,错路和弯路虽然没有指明哪条路是可行的,但是至少说明了哪些是不可行的。从另一个角度讲,这也是在接近真相。

  三、总结

  波里亚(Polya)曾说过“在前辈数学家中欧拉对我的影响最大。主要原因在于,欧拉做了一些跟他才能相当的伟大数学家从没有做过的事,即他解释了他是如何发现他的结论的。”在当今的高校课程设置中,数学建模是有条件解释“如何发现结论”的课程之一。因此数学建模这门课程不仅需要教会学生如何建立模型,更需要在建立模型的过程中解释如何发现结论,让学生领会发现真理之路。确切地说,数学建模这门课程应在还原真理发现的过程中,引导学生学会探究,学会思考问题和解决问题的方式方法,这才是数学建模课程的真谛。

  参考文献

  [1]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第四版)[M].高等教育出版社.2011

  [2]叶其孝.数学建模教学活动与大学数学教育改革[J].数学实践与认识.1997.1

  [3]王丰收.对数学建模课教学的探索[J].吉林工学院学报.201022(2):52~54

  [4]杨华康.关于数学建模课程的几点思考[J].高等理科教育.199612(2):69~71

  [5]楼建华.数学建模与数学实验[J].黑龙江高教研究.2003,(3):126~127

  [6]姜启源.数学实验与数学建模[J].数学的实践与认识,2001,31(5):613~617

  [7]雷功炎.数学模型讲义[M].北京:北京大学出版社,1999


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