八年级上知识梳理 沪教版 数学

八年级上

第十六章 二次根式

第一节: 二次根式的概念

形如()的式子叫做二次根式。

注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,

所以如,式。

取值范围

等是二次根式,而

是,

为二次根式的前提条件,

等都不是二次根

1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a ≧0

时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a ﹤0时,意义。

二次根式

(即

0(

)的非负性

)是一个非负数,

没有

)表示a 的算术平方根,也就是说,

)。

注:因为二次根式

)表示a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正

数,0的算术平方根是0,所以非负数

()的算术平方根是非负数,

即0

(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类

似。这个性质在解答题目时应用较多,如若

,则a=0,b=0;若

二次根式(

)的性质

,则a=0,b=0。

,则a=0,b=0

;若

()

文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注:二次根式的性质公式上面的公式也可以反过来应用:若二次根式的性质

,则

)是逆用平方根的定义得出的结论。

,如:

.

文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简

时,一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或

;若a 是负数,则等于a 的相反数-a,

0,则等于a 本身,即即

2、中的a 的取值范围可以是任意实数,即不论a 取何值,

时,先将它化成的异同点

表示的意义是不同的,

一定有意义;

3、化简

与1、不同点:

,再根据绝对值的意义来进行化简。

表示一个正数a 的算术平

,而,

方根的平方,而表示一个实数a 的平方的算术平方根;在

中a 可以是正实数,0

,负实数。但

。因而它的运算的结果是有差别的,

2、相同点:当被开方数都是非负数,即

都是非负数,即

,而

时,=;时,

无意义,而.

最简二次根式

(1)被开方数中各因式的指数都为1 (2)被开方数不含分母

被开方数同时符合上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式 同类二次根式

1几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式 2 合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并。

第二节 二次根式的运算 1. 积的算数平方根的性质

√ab=√a ·√b (a ≥0,b ≥0) 2. 乘法法则

√a ·√b=√ab (a ≥0,b ≥0)

二次根式的乘法运算法则,用语言叙述为:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。

两个二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变。 两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变。 √a ÷√b=√a ÷b (a ≥0,b>0)

二次根式的除法运算法则,用语言叙述为:两个数的算数平方根的商,等于这两个数商的算数平方根。 分母有理化

把分母的根号化去叫做分母有理化,1. 根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。

有理化根式。

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做有理化根式, 也称有理化因式。 二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式

4大多数分母有理化要及时

5在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化

第十七章 一元二次方程

一元二次方程的概念:

只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时,ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a 、 b、 c; 其中a 、 b,、c 可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法:

(1)一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;

(2)公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误; (3)因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法; (4)配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a≠0) 时,Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式. 请注意以下等价命题:

Δ>0 有两个不等的实根; Δ=0 有两个相等的实根;

Δ<0 无实根; Δ≥0 有两个实根(等或不等). 4. 一元二次方程的根系关系: 当ax 2+bx+c=0 (a≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式:

(1)

x 1, 2

-b ±b 2-4ac b =;(2) x 1+x 2=-,

2a a

x 1x 2=

c

. a

5. 一元二次方程的解法

(1) 直接开平方法 (也可以使用因式分解法)

①x 2=a (a ≥0)

解为:x =②(x +a ) 2=b (b ≥0)

解为:x +a =③(ax +b ) 2=c (c ≥0)

解为:ax +b =④(ax +b ) 2=(cx +d ) 2(a ≠c ) 解为:ax +b =±(cx +d ) (2) 因式分解法:提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法 如:ax 2+bx =0(a , b ≠0) ⇔x (ax +b ) =0 此类方程适合用提供因此,而且其中一个根为0

x 2-9=0⇔(x +3)(x -3) =0 x 2-3x =0⇔x (x -3) =0 3x (2x -1) -5(2x -1) =0⇔(3x -5)(2x -1) =0

x 2-6x +9=4⇔(x -3) 2=4 4x 2-12x +9=0⇔(2x -3) 2=0 x 2-4x -12=0⇔(x -6)(x +2) =0 2x 2+5x -12=0⇔(2x -3)(x +4) =0

(3) 配方法

①二次项的系数为“1”的时候:直接将一次项的系数除于2进行配方,如下所示:

P P

x 2+Px +q =0⇔(x +) 2-() 2+q =0

22

33

示例:x 2-3x +1=0⇔(x -) 2-() 2+1=0

22

②二次项的系数不为“1”的时候:先提取二次项的系数,之后的方法同上:

b b b

ax 2+bx +c =0 (a ≠0) ⇒a (x 2+x ) +c =0 ⇒a (x +) 2-a () 2+c =0

a 2a 2a

b 2b 2b 2b 2-4ac

⇒a (x +) =-c ⇒(x +) =

2a 4a 2a 4a 2

示例:

12111

x -2x -1=0⇔(x 2-4x ) -1=0⇔(x -2) 2-⨯22-1=0 2222(4)公式法:一元二次方程ax 2+bx +

c =0 (a ≠0) ,用配方法将其变形

为:

b 2b 2-4ac

(x +) = 2

2a 4a

①当∆=b 2-4ac >0时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实根:

x 1,2=② 当∆=b 2-4ac =0时,右端是零.因此,方程有两个相等的实根:

x 1,2=-

b 2a

③ 当∆=b 2-4ac

备注:公式法解方程的步骤:

①把方程化成一般形式:一元二次方程的一般式:ax 2+bx +c =0 (a ≠0) ,并确定出a 、b 、c

②求出∆=b 2-4ac ,并判断方程解的情况。

③代公式:x 1,2=

5.当ax 2+bx+c=0 (a≠0) 时,有以下等价命题: (以下等价关系要求会用公式 x 1+x 2=-求背记)

(1)两根互为相反数 ⇔ -= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0;

c a c b

(3)只有一个零根 ⇔ = 0且-≠0 ⇔ c = 0且b ≠0;

a a

c b

(4)有两个零根 ⇔ = 0且-= 0 ⇔ c = 0且b=0;

a a

c

(5)至少有一个零根 ⇔ =0 ⇔ c=0;

a

c

(6)两根异号 ⇔ <0 ⇔ a、c 异号;

a

c b

(7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值⇔ <0且->0⇔ a、c 异号且

a a

b

a

b c 2

,x 1x 2=;Δ=b-4ac 分析,不要a a

(2)两根互为倒数 ⇔ =1且Δ≥0 ⇔ a = c且Δ≥0;

a 、b 异号;

(8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值⇔ <0且-<0⇔ a、c 异号且a 、b 同号;

(9)有两个正根 ⇔ >0,->0且Δ≥0 ⇔ a、c 同号, a、b 异号且Δ≥0;

(10)有两个负根 ⇔ >0,-<0且Δ≥0 ⇔ a、c 同号, a、b 同号且Δ≥0.

6.求根法因式分解二次三项式公式:注意:当Δ< 0时,二次三项式在实数范围内不能分解.

ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或

⎛⎛-b +b 2-4ac ⎫-b -b 2-4ac ⎫ ⎪ ⎪. x -ax +bx+c=a x - ⎪ ⎪2a 2a ⎝⎭⎝⎭

2

c

a b a

c a b a

c a b a

7.求一元二次方程的公式:

x 2 -(x 1+x2)x + x1x 2 = 0. 注意:所求出方程的系数应化为整数.

第三节 一元二次方程的应用

8.平均增长率问题--------应用题的类型题之一 (设增长率为x ): (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.

(2)常利用以下相等关系列方程: 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9.分式方程的解法:

(1) 去分母法(2)换元法

两边同乘最简

验增根代入最简公分母(或原方程的每个分母),值≠0.

公分母

凑元,设元,

验增根代入原方程每个分母,值≠0.

换元.

10. 二元二次方程组的解法:

(1)代入消元法---方程组中含有一个二元一次方程; (2)分解降次法---方程组中含有能分解为(

()

)=0的方程;

⎧(1)(2) =0⎧(1) =0⎧(2) =0⎧(1) =0⎧(2) =0

(3) 注意:应分组为⎨. ⎨⎨⎨⎨

(3)(4) =0(3) =0(4) =0(4) =0(3) =0⎩⎩⎩⎩⎩

※11.几个常见转化:

22222

(1) x 1+x 22=(x 1+x 2) -2x 1x 2;(x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1x 2;x +

12

=(x +) -2;2

x x

1

1

或x +2=(x -) 2+2;

x x

2

1

⎧(x -x ) 2=(x +x ) 2-4x x (x 1≥x 2) ⎪121212

x 1-x 2=⎨;

22

(x 1

x 12+x 22=(x 1+x 2) 2-2x 1x 2,

(x 1-x 2) 2=(x 1+x 2) 2-4x 1x 2,

11x 1+x 2

+=, x 1x 2x 1x 2

|x 1-x 2|= x 1x 22+x 12x 2=x 1x 2(x 1+x 2) ,

x 2x 1x 12+x 22(x 1+x 2) 2-4x 1x 2

等 +==

x 1x 2x 1x 2x 1x 2

(2)

⎧⎪1. 分类为x 1-x 2=2和x 1-x 2=-2

; x 1-x 2=2⇒⎨2

⎪⎩2. 两边平方为(x 1-x 2)=4x 14

=x 23

x 14x 4⎧

=和1=-16⎪(1) 分类为

x 23x 23(或2=) ⇒⎨ ;

9x 2⎪(2) 两边平方一般不用, 因为增加次数.

2x 1

(3)

(4) 如x 1=sin A , x 2=sin B 且∠A +∠B =90︒时, 由公式sin 2A +cos 2A =1, cos A =sin B

2

可推出x 1+x 22=1.

注意隐含条件:x 1>0, x 2>0.

(5) x 1, x 2若为几何图形中线段长时, 可利用图形中的相等关系(例如几何定理,相似形, 面积等式, 公式) 推导出含有x 1, x 2的关系式. 注意隐含条件:x 1>0, x 2>0.

(6) 如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件, 可把它们转化为某些线段的比,并且引入“辅助未知元k ”.

(7) 方程个数等于未知数个数时, 一般可求出未知数的值; 方程个数比未知数个数少一个时,一般求不出未知数的值, 但总可求出任何两个未知数的关系.

第十八章 正比例函数和反比例函数

一、函数的定义:

在X 值的取值范围内的每一个值,Y 都有唯一一个值和它对应。Y 是X 的函数。(唯一性)

二、表示函数的三种方法:

1、列表法 2、解析法(函数关系式)

3、图象法——画图像的一般步骤:(1)列表(2)描点(3)连线 三、确定函数自变量的取值范围

1、自变量以整式形式出现,自变量的取值范围是全体实数; 2、自变量以分式形式出现,自变量的取值范围是使分母不为0的数; 3、自变量以偶次方根形式出现,自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0(即被开方数≥0)的数;自变量以奇次方根形式出现,自变量的取值范围是全体实数。

4、自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中,自变量的取值范围是使底数不为0的数。

说明:当函数解析式表示具有实际意义的函数时,自变量取值范围除应使函数解析式有意义外,还必须符合实际意义。)

正比例函数

正比例:如果两个变量的每 一组对应值的比值是一个常数(这个常数不等于0),那么就说这两个变量成正比例。

解析式如 Y=kx,(k ≠0)的函数叫做正比例函数,k 叫做比例系数。 K>0时,正比例函数图像的两支分别在第一、三象限;在每个象限内,当自变量x 的值逐渐增大时,y 的值随着逐渐增大

K

反比例

如果两个量的每一组对应值的乘积是一个不等于的常数,那么就说这两个变量成反比例,

解析式如y=错误!未找到引用源。(k是常数,k ≠0) 的函数叫做反比例函数,其中k 也叫做比例系数.

K>0时,函数图像的两支分别在第一、三象限;在每个象限内,当自变量x 的值逐渐增大时,y 的值随着逐渐减小

K

图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴,但不会与x 轴和y 轴相交。

第十九章 几何证明

判定一件事情的句子叫做命题,其判定正确的命题叫做真命题,其判定错误的命题叫做假命题

公理:人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理

定理:有些命题是从公理或其他真命题出发,用推理的方法证明为正确的,并进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理。 命题

1、命题:凡是可以判断出真(正确)、假(错误)的语句叫做命题。 2、命题分类

真命题:正确的命题 命题

假命题:错误的命题

4、反例:符合命题条件,但不满足命题结论的例子称为反例。

第二节 线段的垂直平分线与角平分线 线段的垂直平分线

二、互逆命题 三、 原命题:如果p ,那么q ;

四、 逆命题:如果q ,那么p 。 (说明:交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。)

1、定义:经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

∵ 直线l 垂直平分AB ,点P 在l 上 ∴ PA=PB

2、。 ∵ PA=PB

∴ 点P 在AB 的垂直平分线上

五、角的平分线

1、性质:角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。

2、判定:在一个角的内部,到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

轨迹

点的轨迹:我们有时也把符合某些条件的所有点的集合,叫做点的轨迹 和线段两端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 在一个角的内部(包括顶点)且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线

到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心,定长为半径的圆。 7、直角三角形全等的判定 1、定义:有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。

2、性质:(1)边性质:两直角边的平方和等于斜边的平方。(勾股定理) (2)角性质:两个锐角互余。 3、含30°角的直角三角形性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

定理:如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等(简记为H.L )

定理1 直角三角形的两个锐角互余

定理2 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

推论1 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

推论2 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这个直角边所对的角等于30°。

定理 在直角三角形中, 斜边大于直角边

勾股定理 直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方

直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2+b2=c 2) 要点诠释:

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:

(1)已知直角三角形的两边求第三边(在∆ABC 中,∠C =90︒,

则c

b

a =

(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理

如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形

如果三角形的三边长:a 、b 、c ,则有关系a 2+b2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释:

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:

(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c ;

(2)验证c 2与a 2+b2是否具有相等关系,若c 2=a 2+b2,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形

(若c 2>a2+b2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形;若c 2

(定理中a ,b ,c 及a 2+b 2=c 2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足a 2+c 2=b 2,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边)

3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;

联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 5:勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:

方法一:4S ∆+S 正方形EFGH =S 正方形ABCD ,4⨯ab +(b -a ) 2=c 2,化简可证.

方法二:

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =4⨯ab +c 2=2ab +c 2 大正方形面积为S =(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2 所以a 2+b 2=c 2 方法三:S 梯形=(a +b ) ⋅(a +b ) ,S 梯形=2S ∆ADE +S ∆ABE =2⋅ab +c 2,化简得证

6:勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a 2+b 2=c 2中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数:n 2-1,2n , n 2+1(n ≥2, n 为正整数); 2n +1,2n 2+2n ,2n 2+2n +1(n 为正整数)m 2-n 2,2mn , m 2+n 2(m >n , m ,n 为正整数) 1212121212两点间的距离公式

如果直角坐标平面内有两点A (x 1,y 1)B(x2,y 2) ,那么A 、B 两点的距离 AB=错误!未找到引用源。


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