椭圆方程的几种常见求法

椭圆方程的几种常见求法

河南 陈长松

对于求椭圆方程的问题,通常有以下常见方法:

一、定义法

例1 已知两圆C 1:(x -4) +y =169,C 2:(x +4) +y =9,动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切,和圆C 2相外切,求动圆圆心的轨迹方程.

分析:动圆满足的条件为:①与圆C 1相内切;②与圆C 2相外切.依据两圆相切的充要条件建立关系式.

解:设动圆圆心M(x ,y ),半径为r ,如图所示,由题意动圆M内切于圆C 1, ∴MC 1=13-r ,圆M外切于圆C 2 , ∴MC 2=3+r ,

∴MC 1+MC 2=16,

∴ 动圆圆心M的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆,

且2a =16, 2c =8,

b =a -c =64-16=48, 2222222x 2y 2

故所求轨迹方程为:+=1. 6448

评注:利用圆锥曲线的定义解题,是解决轨迹问题的基本方法之一.此题先根据平面几何知识,列出外切的条件,内切的条件,可发现利用动圆的半径过度,恰好符合椭圆的定义.从而转化问题形式,抓住本质,充分利用椭圆的定义是解题的关键.

二、待定系数法

例2已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1(, 1), P 2(-3, -2) ,求该椭圆的方程.

分析:已知两点,椭圆标准方程的形式不确定,我们可以设椭圆方程的一般形式: mx 2+ny 2=1(m >0, n >0) ,进行求解,避免讨论。

解:设所求的椭圆方程为mx +ny =1(m >0, n >0) . ∵椭圆经过两点P 1(6, 1), P 2(-3, -2) , 22

1⎧m =, ⎪⎧6m +n =1, x 2y 2⎪9∴⎨ 解得⎨ ,故所求的椭圆标准方程为+=1. 93⎩3m +2n =1. ⎪n =1. ⎪3⎩

评注:求椭圆标准方程,可以根据焦点位置设出椭圆标准方程,用待定系数法求出a , b 的值:若焦点位置不确定,可利用椭圆一般形式简化解题过程.

三、直接法

x 2y 2

例3 设动直线l 垂直于x 轴,且交椭圆+=1于A、B两点,P是l 上线段 42

AB 外一点,且满足PA ∙PB =1,求点P的轨迹方程.

分析:如何利用点P的坐标与椭圆上A,B两点坐标的关系,是求点P的轨迹的关键,因直线l 垂直于x 轴,所以P、A、B三点的横坐标相同,由A、B在椭圆上,所以A、B两点的纵坐标互为相反数,因此,紧紧抓住等式PA ∙PB =1即可求解.

解:设P(x ,y ),A(x A ,y A ),B(x B ,y B ) ,

由题意:x =x A =x B ,y A +y B =0

∴PA =y -y A , PB =y -y B ,∵P在椭圆外,∴y -y A 与y -y B 同号, 2∴PA ∙PB =(y -y A )(y -y B )=y -(y A +y B ) y +y A y B =1

∵y A y B =-y A 2x A x 2=-2(1-) =-2(1-) 442

x 2x 2y 2

) =1,即+=1(-2

评注:求轨迹方程,首先要找出动点与已知点之间的关系,建立一个等式,用坐标代换.

四、相关点法

例4 ∆ABC 的底边BC =16,AC 和AB 两边上的中线长之和为30,求此三角形重心G和定点A的轨迹方程.

分析:由题意可知G到B、C两点的距离之和为定值,故可用定义法求解,A点和G点的关系式好建立,故可用相关点法去求.

解(1)以BC 边所在直线为x 轴,BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系,

设G(x ,y ),由GC +GB =2⨯30,知G点的轨迹是以B、C为焦点, 3

x 2y 2

长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点,方程为+=1(y ≠0) . 10036

x y (2)设A(x ,y ),G(x 0, y 0) ,则由(1)知G的轨迹方程是0+0=1(y 0≠0) 1003622

x ⎧x =⎪x 2y 2⎪03 ∵ G为∆ABC 的重心 ∴⎨代入得:+=1(y ≠0) y 900324⎪y =0⎪3⎩

其轨迹是中心为原点,焦点在x 轴上的椭圆,除去长轴上的两个端点.

评注:本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的,要注意各自的特点,另要注意轨迹与轨迹方程的不同.


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