功与能的两个难点问题的方法研究

功与能的两个难点问题的方法研究

常州市第一中学(213003) 刘霁华

功与能的知识一直是高中物理最重要的内容,

其中变力做功问题和连接体的机械能守恒问题则

是我们学习中的难点和高考命题的重点,本文系统

讨论这两类问题的分析方法,以飨读者。

一、变力做功的几种求法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位,功的计算公式只能用于恒力做功情况,对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用,下面对变力做功问题进行归纳总结如下:

1、等值法

等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等,则可以通过计算该恒力的功,求出该变力的功。而恒力做功又可以用计算,从而使问题变得简单。

例1.如图1,定滑轮至滑块的高度为h,已知细绳的拉力为F(恒定),滑块沿水平面由A点前进S至B点,滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点运动到B点过程中,绳的拉力对滑块所做的功。

分析与解:设绳对物体的拉力为T,显然人对绳的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变,但其方向时刻在改变,因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下,人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变,所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图1可知,在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为:

2、微元法

当物体在变力的作用下作曲线运动时,若力的方向与物体

运动的切线方向之间的夹角不变,且力与位移的方向同步变化,

可用微元法将曲线分成无限个小元段,每一小元段可认为恒力做

功,总功即为各个小元段做功的代数和。

例2.如图2所示,某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边

缘上,力F的大小保持不变,但方向始终保持与作用点的切线方

向一致,则转动一周这个力F做的总功应为:

A、 0J B、20πJ C 、10J D、20J.

分析与解:把圆周分成无限个小元段,每个小元段可认为与

力在同一直线上,故ΔW=FΔS,则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ=62.8J,故B正确。

3、平均力法

如果力的方向不变,力的大小对位移按线性规律变化时,可用力的算术平均值(恒力)代替变力,利用功的定义式求功。

5 例3.一辆汽车质量为10kg,从静止开始运动,其阻力为车重的0.05倍。其牵引力

的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0,f0是车所受的阻力。当车前进100m时,牵引力做的功是多少?

分析与解:由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0,是线性关系,故前进

100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f0=0.05×105×10N

=5×104N,所以前进100m过程中的平均牵引力:

∴W=S=1×105×100J=1×107J。

4、用动能定理求变力做功

例4.如图3所示,AB为1/4圆弧轨道,半径为0.8m,BC是水平轨道,长L=3m,BC处的摩擦系数为1/15,今有质量m=1kg的物体,自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

分析与解:物体在从A滑到C的过程中,有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功,重力做功WG=mgR,水平面上摩擦力做功Wf1=-μmgL,由于物体在AB段受的阻力是变力,做的功不能直接求。根据动能定理可知:W外=0,所以mgR-μmgL-WAB=0 即WAB=mgR-μmgL=6(J)

5、用机械能守恒定律求变力做功

如果物体只受重力和弹力作用,或只有重力或弹力做功时,满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功,可用机械能守恒定律来求解。

例5.如图4所示,质量m=2kg的物体,从光滑斜

面的顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下,在D点与弹簧

接触并将弹簧压缩到B点时

的速度为零,已知从A到B

的竖直高度h=5m,求弹簧的

弹力对物体所做的功。

分析与解:由于斜面光滑

故机械能守恒,但弹簧的弹

力是变力,弹力对物体做负功,弹簧的弹性势能增加,且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面,弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点,则状态A:EA= mgh+mV02/2

对状态B:EB=-W弹簧+0

由机械能守恒定律得: W弹簧=-(mgh+mv02/2)=-125(J)。

6、用功能原理求变力做功

例6、两个底面积都是S的圆筒,放在同一水平面上,桶内装水,水面高度分别为h1和h2,如图5所示,已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开,

最后两桶水面高度相等,则这过程中重力所做的功等

于 .

分析与解:由于水是不可压缩的,把连接两桶的阀门打

开到两桶水面高度相等的过程中,利用等效法把左管高

以上部分的水等效地移至右管,如图6中的斜线所

示。最后用功能关系,重力所做的功等于重力势能的减少

量,选用AB

所在的平面为零重力势能平面,则画斜线部分

从左管移之右管所减少的重力势能为:

所以重力做的功WG=.

二、连接体的机械能守恒问题

连接体的机械能守恒问题一直是高考的重点,

也是我们学习中的难点,下面我们通过实例分析用

机械能守恒定律解连接体问题时要注意的几个问

题。

1、正确选取系统

应用机械能守恒定律必须准确的选择系统,系

统选择得当,机械能守恒;系统选择不得当,机械

能不守恒。对机械能不守恒的系统应用机械能守恒

定律必然得出错误的结果。

例7.如图7所示,长为2L的轻杆OB,O端装有转轴,B端固定一个质量为m的小球B,OB中点A固定一个质量为m的小球A,若OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中,求(1)A、B球摆到最低点的速度大小各是多少?

(2)轻杆对A、B球各做功多少?(3)轻杆对A、B球所做的总功为多少?

错解分析:有学生分别选A、B球及地球为一系统,有机械能守恒定律得到:

由上两式得:

上述解法中对系统的选择是错误。事实上,小球A(B)与地球单独组成的系统机械能并不守恒,这是因为轻杆往下摆的过程中,轻杆分别对A、B球做了功(注意轻杆可以产生切向力,不象轻绳,只能产生法向力)。对机械能不守恒的系统应用守恒定律求解,当然出错。应选A、B球及地球所组成的系统,机械能是守恒的。

正确解答:

(1) 选A、B及地球为一系统,此系统中只有动能和重力势能发生转化,系统

机械能守恒,有:

,由①②式可得:

(2)由上不难得到:轻杆对B球做正功,对A球做负功。 ,即A、B间的 ①

轻杆对A球做功为:

同理可得,轻杆对B球做功为:

(3)轻杆对A、B所做总功为0。

2、注意分析过程

机械能守恒不仅要关注初、末状态,同样也要关注物理过程。选取物理过程必须遵循两个基本原则,一要符合求解要求,二要尽量使求解过程简化,有时可选全过程,而有时则必须将全过程分解成几个阶段,然后再分别应用机械能守恒定律求解。

例8.如图8所示,质量均为m的小球A、B、C,用两条长均为L的细线相连,置于高为h的光滑水平桌面上。,A球刚跨过桌面。若A球、B球下落着地后均不再反弹,则C球离开桌边缘时的速度大小是多少?

分析与解:本题描述的物理过程是:A球下落带动B、C球运动。A球着地前瞬间,A、B、C三球速率相等,且B、C球均在桌面上。因A球着地后不反弹,故A、B两球间线松弛,B球继续运动并下落,带动小球C,在B球着地前瞬间,

B、C两球速率相等。故本题的物理过程应划分为两个阶段:从A球开始下落到A球着地瞬间;第二个阶段,从A求着地后到B球着地瞬间。

在第一个阶段,选三个球及地球为系统,机械能守恒,则有:

第二个阶段,选B、C两球及地球为系统,机械能守恒,则有:

②,由①②解得:

3、合理选用方程

在运用机械能守恒定律的状态式

题中必须选取同一零

题,运用

变化式

个最大优点是不必选时,必须选取零势能参考面,而且在同一问势能参考面。但对于连接体的机械能守恒问求解不太方便,而运用

则较为简单。运用变化式的一取零势能参考面。

例9.如图9所示,一固定的斜面,倾角为30°,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮,一软细线跨过定滑轮,两边分别与A、B连接,A的质量为4m,B的质量为m,开始时将B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下滑而B上升,物块A与斜面间无摩擦,设当A沿斜面下滑s距离后,细线突然断了,求物块B上升的最大距离H。

分析与解:

对B:

4、研究状态关系

要注意,几个连接体的速率和在某过程中所发生的位移常常是不同的,所以要认真研究各个物体的初、末状态物理量的关系,才能正确解题。

例10.如图10,半径为R的1/4圆弧支架竖直放置,支架底AB离地的距离为2R,圆弧边缘C处有一小定滑轮,一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的物体,挂在定滑轮两边,且m1>m2,开始时m1、m2均静止,m1、m2可视为质点,不计一

切摩擦。求:

⑴m1释放后经过圆弧最低点A时的速度v1

⑶如m1恰能到达A点,m1与m2之比为多少?

分析与解:此题物理过程一目了然, m1 与m2 组成

的系统机械能守恒,但学生出错原因是m1 与m2 由一条

绳子相连就误认为m1 到点A的速度等于m2 的速度造成

第1 问的错误, 接着第2 问要用上一问的结果, 这样

导致第2问也是错误的。 在第3 问中很显然m1 恰能到

达A点的临界状态是m1 经过圆弧最低点A时的速度为

0 ,但是有些学生正因为m1 与m2 由一条绳子相连就误认为m1

下降的高度等于 ②,③ ,由①②③得

m2 升高的高度而出错。所以对于连接体问题,要注意分析两个物体状态细节,

搞清位移、速度等物理量的关系。 ⑴设m1运动到最低点时速度为v1,此时m2的速度为v2,速度分解如图11,得: v2= v1sin45° ,m1下降了高度R,m2上升了高度为,

由系统的机械能守恒得:

,由上述两式求得:

(2)m1能到达A点满足条件v1≥0 由

解得:


相关内容

  • 正比例和反比例教案

    第二单元:正比例和反比例 主备:张龙珠 教学目标: 1. 结合具体情境,体会生活中存在着大量互相依赖的变量:在具体情境中,尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系. 2. 结合丰富的实例,认识正比例和反比例:能根据正比例和反比例的意义,判断两 ...


  • 浅论初中数学教学中难点的处理

    6 上海中学数学・2015年第10期 浅论初中数学教学中难点的处理 230011 安徽省合肥市行知学校张正茂 数学教学难点是指学生不易理解的知识和不易掌握的技能,或是教师不易阐述清楚的内容,这些是造成学生学习效果差距的分化点.导致难点形成的 ...


  • 中职数学(基础模块)教案

    中职数学(基础模块)教案 1.1集合的概念 知识目标:(1)理解集合.元素及其关系:(2)掌握集合的列举法与描述法, 会用适当的方法表示集合. 能力目标:通过集合语言的学习与运用,培养学生的数学思维能力. 教学重点:集合的表示法. 教学难点 ...


  • 高中政治组高一年级集体备课记录

    第一次集体备课 时间:2014年9月9日 地点:高三文综办公室 主持人: 参会:高中政治教研组全体教师 1. 传达市教研会议精神:对新老师的要求:工作作风的转变,不做与工作无关的东西:社会主义核心价值观对政治教师的特别要求: 2. 教学研讨 ...


  • 教育专家浅谈小学数学中的难点教学

    一.教学难点的含义 什么是教学难点?有学者认为,教学的难点一般是指教师较难讲清楚.学生较难理解或容易产生错误的知识内容.也有的学者认为,数学中的难点是指学生不易理解的知识,或不易掌握的技能技巧.按笔者的理解,教学难点可以从基础知识和基本技能 ...


  • 北师大版九上数学教案全册

    2013.3北师大版九上数学教案全册 第一章证明(二) (课时安排) 1.你能证明它们吗? 3课时 2.直角三角形 2课时 3.线段的垂直平分线 2课时 4.角平分线 1课时 1. 你能证明它们吗? (一) 教学目标: 知识与技能目标: 1 ...


  • 如何在数学教学中突破重点和难点呢

    吃透教材,抓住教材的重难点是突破重难点的前提 以旧知识为生长点 板书设计为突破口 强化感悟形式多样的课堂练习.教学重点,就是学生必须掌握的基本技能.如:意义.性质.法则.计算等等.如何在数学教学中突破重点和难点呢?这就需要我们每一位数学教师 ...


  • 平行四边形全章教案

    19.1.1 平行四边形及其性质(一) 一. 教学目标: 1. 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边.对角相等的性质. 2. 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证. 3. 培养学生发现问题.解决问题的 ...


  • 八年级下册 数学 重难点归纳

    第一章 二次根式 1.1二次根式 知识点一 二次根式的概念 知识点二 怎样确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围(难点) 知识点三 求二次根式的值(重点) 四个经典例题的讲解与练习 1.2二次根式的性质 知识点一 二次根式的性质1(重点) ...


  • [当代国际社会]说课稿

    <当代国际社会>说课稿 各位老师好: 我的名字叫xxx,来自„„ 下面我将对说课内容的进行讲述(包括说教材.学生.思路.教学法.重难点突破.) 当代国际社会,共包含了三个框题.第一个框题为"当代国际社会概况" ...