第09讲角平分线的性质与判定

角平分线的性质与判定

知识点一 角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线性质的符号语言: P 在∠AOB 的平分线上

PD ⊥OA 于D ,PE ⊥OB 于E

∴PD =PE

【例1】如图,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,且DB =DC ,

求证:BE =CF 。

E

B

D

A

F

第6

题图

C

知识点二 角平分线的判定

到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 角平分线判定的符号语言:

PD ⊥OA 于D ,PE ⊥OB 于E 且PD =PE

∴P 在∠AOB 的平分线上

(或写成OP 是∠AOB 的平分线)

【例2】:如图,BE =CF ,DF ⊥AC 于F ,DE ⊥AB 于E ,BF 和CE 交于点D 。 求证:AD 平分∠BAC 。

【经典例题】

【例3】:如图,在∆ABC 中,∠C =90 ,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ,F 在AC 上,BD =DF 。求证:CF =EB 。

【例4】:如图,已知在∆ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2。 求证:AD 平分∠BAC 。

基础闯关

1. 在△ABC 中,∠C =90°,AD 是∠BAC 的角平分线,若BC =5㎝,BD =3㎝,则点D 到AB 的距离为

C

B

E

D

A

B

2

O

P

A

第3题图

2. ∠AOB 的平分线上一点M ,M 到OA 的距离为1.5㎝,则M 到OB 的距离为 ㎝。

3. 如图,∠A =90°,BD 是△ABC 的角平分线,AC =8㎝,DC =3DA ,则点D 到BC 的距离为 。

4. 如图,∠1=∠2,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,下列结论错误的是( ) A 、PD =PE B 、OD =OE C 、∠DPO =∠EPO D 、PD =OD

5. 三角形中到三边距离相等的点是( )

A 、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点

D 第4题图

6. 到一个角的两边距离相等的点在 .

7. 如图,要在河流的南边,公路的左侧M 处建一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉A 点处的距离为1cm (指图上距离),则图中工厂的位置应在 ,理由是 .

8.三角形中,到三边距离相等的点是

(A )三条高线交点.(B )三条中线交点.(C )三条角平分线交点.(D )三边垂直平分线交点.

9.如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高,那么这个

三角形是

(A )直角三角形.(B )等腰三角形.(C )等边三角形.(D )等腰直角三角形 10.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,M 为AD 上任意一点,则下列结论错误的是 (A )DE =DF . (B )ME =MF . (C )AE =AF . (D )BD =DC .

B E

D F C

A

解答题

11. 如图,AB //CD ,∠B =90 ,E 是BC 的中点,DE 平分∠ADC 。求证:AE 平分∠DAB 。

12、如图,已知在四边形ABCD 中,∠B +∠D =180 ,AC 平分∠BAD ,CE ⊥AD ,E 为垂足。求证:AB +AD =2AE 。

6.如图,已知PA ⊥ON 于A ,PB ⊥OM 于B ,且PA =PB .∠MON =50o ,∠OPC =30o ,求∠PCA 的大小.

A C B

9. 已知:如图,CE ⊥AB 于点E ,BD ⊥AC 于点D ,BD 、CE 交于点O ,且AO 平分∠BAC .求证:OB =OC .

10、阅读下题及其证明过程:

已知:如图,D 是△ABC 中BC 边上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE ,求证:∠BAE=∠CAE. 证明:在△AEB 和△AEC 中,

⎧EB =EC ⎪

⎨∠ABE =∠ACE ⎪AE =AE ⎩

∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)

问:上面证明过程是否正确?若正确,请写出每一步推理根据;若不正确,请指出错在哪一步?并写出你认为正确的推理过程。

课后作业

1、如图,已知BA , CA 分别是∠DBC ,∠ECB 的平分线,BD ⊥DE ,CE ⊥DE ,垂足分别为D , E ,则DA 与EA 有怎样的数量关系____________。

2、已知∆ABC 中,点D 到AB 的距离等于5.6cm ,∠C =90 ,AD =BD =2CD ,AD 平分∠A ,则BC 的长为___________cm 。

3、如图,BD 是∠ABC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥BC 于F ,S ∆ABC =36cm 2,AB =18cm ,

BC =12cm ,则DE 的长是__________。

4、如图,OP 平分∠AOB ,PD ⊥OA 于D ,PE ⊥OB 于E ,F 为OP 上一点,连接DF 、EF . 求证:⑴∠DPO =∠EPO ⑵DF =EF


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