反函数专题练习试卷及解析

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反函数专题练习试卷及解析

1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题

10x -1

, x ∈R ,函数y =f (x ) 是函数y =g (x ) 的反函数. 已知函数g (x ) =x

10+1

求函数y =f (x ) 的解析式,并写出定义域D

2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 已知函数f (x ) =a x -a +1,(a >0且a ≠1) 恒过定点(2,2) .

(1)求实数a ;

(2)在(1)的条件下,将函数f (x ) 的图象向下平移1个单位,再向左平移a 个单位后得到函

数g (x ) ,设函数g (x ) 的反函数为h (x ) ,求的h (x ) 解析式;

(3)对于定义在(1,4]上的函数y =h (x ) ,若在其定义域内,不等式

[h (x ) +2]2≤h (x 2) +h (x ) m +6恒成立,求m 的取值范围.

3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 已知函数f (x )=lg (x +1).

(1)若0

(2)若g (x ) 是以2为周期的偶函数, 且当0≤x ≤1时, 有g (x ) =f (x ) , 求函数y =g (x )(x ∈[1, 2])的反函数.

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4.2014年华约自主招生数学试题第3题

(1)求证:y =f (g (x )) 的反函数是y =g -1(f -1(x )) .

(2)F (x ) =f (-x ) ,G (x ) =f -1(-x ) ,若F (x ) =G -1(x ) ,求证f (x ) 为奇函数.

5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题

1+a x

设f (x ) = (a >0 且 a ≠1),g (x ) 是f (x ) 的反函数. x

1-a

(Ⅰ)求g (x ) ; (Ⅱ)当0

1t 时,恒有g (x ) >log a 2 成立,求t 的取值范围; 2(x -1)(7-x ) 1

时,试比较f (1)+f (2)+…+f (n ) 与n +4 的大小,并说明理由. 2

(Ⅲ)当 0

6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 已知f (x ) =lg(x +1) .

(1)若0

(2)若是以2为周期的偶函数,且当0≤x ≤1时,g (x ) =y =g (x ) (x ∈[1,2]) 的反函数.

7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 已知函数f (x ) =lg(x +1) .

f (x ,) 求函数

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(1) 若0

(2) 若g (x ) 是以2为周期的偶函数,且当0≤x ≤1时,有g (x ) =f (x ) ,求函数y =g (x ) (x ∈[1,2])的反函数.

8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题

2x +a

设常数a ≥0,函数f (x ) =x .

2-a

(1)若a =4,求函数y =f (x ) 的反函数y =f -1(x ) ;

(2) 根据a 的不同取值,讨论函数y =f (x ) 的奇偶性,并说明理由.

9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题

2x +a

设常数a ≥0,函数f (x ) =x .

2-a

(1) 若a =4,求函数y =f (x ) 的反函数y =f -1(x ) ;

(2) 根据a 的不同取值,讨论函数y =f (x ) 的奇偶性,并说明理由.

答案和解析

1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题 答案:见解析

10x -12

=1-x , x ∈R 分析:(1)∵g (x ) =x

10+110+1∴g (x )

. 又10+1>1,∴1-

x

22

>1-=-1.

10x +10+1

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∴-1

10x -11+y 1+y x

由y =x ,可解得10=. , x =lg

10+11-y 1-y ∴f (x ) =lg

1+x

,D =(-1,1) . 1-x

2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 答案:(1)2

(2)h (x ) =log 2x (x >0)

(3)m ≥1

分析:(1)由已知a

2-a

+1=2∴a =2.

(2)∵f (x ) =2x -2+1∴g (x ) =2x ∴h (x ) =log 2x (x >0) (3)要使不等式有意义:则有1

据题有(log2x +2) 2≤log 2x 2+m log 2x +6在(1,2]恒成立. ∴设t =log 2x (1

∴(t +2) 2≤2t +tm +6在(0,1]时恒成立.

t 2+2t -22

=t -+2在[0,1]时恒成立 即:m ≥

t t

设y =t -

2

+2,t ∈(0,1]单调递增 t

∴t =1时,有y max =1∴m ≥1.

3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 答案:(1)-

21

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(2)y =3-10x , x ∈[0,lg2]

⎧2-2x >02-2x

0⎩

得1

2-2x

⎧-1

21⎪

因为x +1>0, 所以x +1

33-

得 -

21

(2)当 x ∈[1,2]时 , 2-x ∈[0,1]因

此 y =g (x ) =g (x -2) =g (2-x ) =f (2-x ) =lg(3-x )

由单调性可得y ∈[0,lg2]. 因为x =3-10, 所以所求反函数是y =3-10x , x ∈[0,lg2]

y

4.2014年华约自主招生数学试题第3题 答案:答案见解析

-1-1-1

分析:(1)由y =f (g (x )) 得g (x ) =f (y ) ,x =g (f (y )) ,

故所求反函数是y =g (f (2)由G (x ) =f

-1

-1-1

(x )) .

(-x ) 得G -1(x ) =-f (x ) ,

-1

事实上,设y =G (x ) 和y =f

-1

(-x ) ,

-1

由y =G (x ) 得反函数y =G (x ) ;由y =f

(-x ) 得反函数y =-f (x ) ;

-1

于是由F (x ) =G (x ) 有f (-x ) =-f (x ) ,所以f (x ) 为奇函数.

5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题 答案:答案见解析

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分析:(1)由题意得:a =

x

x -1y -1

,x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) . >0 故 g (x ) =log a

x +1y +1

(2) 由 log a

x -1t x -1t

得①当a >1时, >log a 2>2>0又因

x +1(x -1)(7-x ) x +1(x -1)(7-x )

为x ∈[2,6],所以

0

所以h (x )=5 ,

所以02

t >(x -1) (7-x ) >令0

x -1t

, ∈h (x ) =(x -1) 2(7-x ) =-x 3+9x 2-15x +7, x ∈[2,6]由①知h (x ) =32x 所[2, 6以

t ="">32综上,

当a >1时,0

1

,则 p ≥1当 n =1时, 1+p

f (1)=1+

2

≤3

当n ≥2 时设 k ≥2, k ∈N *时则

1+a k 22f (k ) ==1+=1+1

1-a k (1+p ) k -1C k p +C k 2p 2+f (k ) ≤1+

2444

从而=1+=1+-1

C k +C k 2k (k +1) k k +1

+C k k p k

所以

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f (2)+f (3)+⋯+f (n ) ≤n -1+

44-

f (+1) f +(2f ) +⋯(f +3) n

+

f (+1) f +(2f ) +. ⋯(f +3) n

6.2012年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案:见解析 分析:(1) 由 ⎨

⎧2-2x >0,

得-1

⎩x +1>0

2-2x 2-2x

21

因为x +1>0,所以x +1

33

由0

⎧-1

21⎪

-

33-

(2) 当 x ∈[1,2] 时,2-x ∈[0,1]

因此y =g (x ) =g (x -2) =g (2-x ) =f (2-x ) =lg(3-x ) 由单调性可得y ∈[0,lg2].

因为x =3-10,所以所求反函数是x =3-10,x ∈[0,lg2].

y

y

7.2012年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案:见解析

⎧2-2x >0

分析:(1) 由⎨,得-1

x +1>0⎩

2-2x 2-2x

21

因为x +1>0,所以x +1

33

由0

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⎧-1

21⎪

-

33-

(2) 当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此

y =g (x )=g (x -2)=g (2-x )=f (2-x )=lg (3-x ),

由单调性可得y ∈[0,lg2],

因为x =3-10,所以所求反函数是y =3-10x ,x ∈[0,lg2].

y

8.2014年全国高考理科数学试题-上海卷第20题 答案:(1) y =f

-1

(x ) =log 2

4x +4

,x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) ;(2) 见解析 x -1

2x +44y +44y +4

=y ,∴2x =分析:(1)∵a =4,∴f (x ) =x ,∴x =log 2, 2-4y -1y -1

∴y =f

-1

(x ) =log 2

4x +4

,x ∈(-∞, -1) ⋃(1,+∞) . x -1

2x +a 2-x +a

=-x (2) 若f (x ) 为偶函数,则f (x ) =f (-x ) ,∴x ,

2-a 2-a

x -x

整理得a (2-2) =0,∴a =0,此时为偶函数

2x +a 2-x +a

=--x 若f (x ) 为奇函数,则f (x ) =-f (-x ) ,∴x , 2-a 2-a

2

整理得a -1=0,∵a ≥0,∴a =1,此时为奇函数.

当a ∈(0,1)⋃(1,+∞) 时,此时f (x ) 既非奇函数也非偶函数.

9.2014年全国高考文科数学试题-上海卷第20题 答案:(1) f

-1

(x ) =2+log 2

x +1

, x ∈(-∞, -1)⋃(1, +∞) (2) 见解析 x -1

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4(y +1)2x +4

分析:(1) 因为y =x ,所以2x =,得y 1,且x =2+l o g

2-4y -1

因此,所求反函数为f

-1

2

y +1

. y -1

(x ) =2+log 2

x +1

, x ∈(-∞, -1)⋃(1, +∞). x -1

(2) ①当a =0时,f (x ) =1,定义域为R ,故函数y =f (x ) 是偶函数;

2x +1

②当a =1时,f (x ) =x ,定义域为(-∞,0)⋃(0, +∞),

2-12-x +12x +1

f (-x ) =-x =-x =-f (x ) ,故函数y =f (x ) 为奇函数;

2-12-1

③当a >0且a ≠1时,定义域为(-∞,log 2a )⋃(log 2a , +∞)关于原点不对称, 故函数y =f (x ) 既不是奇函数,也不是偶函数. 综上可知,①当a =0时,故函数y =f (x ) 是偶函数; ②当a =1时,函数y =f (x ) 为奇函数;

③当a >0且a ≠1时,故函数y =f (x ) 既不是奇函数,也不是偶函数.


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