量子力学知识点小结

第一章

⒈玻尔的量子化条件,索末菲的量子化条件。

⒉黑体:能吸收射到其上的全部辐射的物体,这种物体就称为绝对黑体,简称黑体。 ⒎普朗克量子假说:

表述1:对于一定频率ν的辐射,物体只能以h ν为能量单位吸收或发射电磁辐射。

表述2:物体吸收或发射电磁辐射时,只能以量子的方式进行,每个量子的能量为:ε=hν。

表述3:物体吸收或发射电磁辐射时,只能以能量ε的整数倍来实现,即ε,2ε,3ε,…。 ⒏光电效应:光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点:

①存在临界频率ν0 :只有当光的频率大于一定值v 0 时,才有光电子发射出来。若光频率小于该值时,则不论光强度多大,照射时间多长,都没有光电子产生。

②光电子的能量只与光的频率有关,与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说:

光(电磁辐射) 不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现,而且以这种形式在空间以光速 C 传播,这种粒子叫做光量子,或光子。爱因斯坦方程

⒒光电效应机理:

当光射到金属表面上时,能量为 E= hν 的光子立刻被电子所吸收,电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引,另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点:

①存在临界频率v 0:由上式明显看出,当h ν- W0 ≤0时,即ν≤ν0 = W0 / h时,电子不能脱出金属表面,从而没有光电子产生。

②光电子动能只决定于光子的频率:上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关,而与光的强度无关。

⒔康普顿效应:高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律:

①散射光中,除了原来X 光的波长λ外,增加了一个新的波长为λ' 的X 光,且λ' >λ; ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。

⒖量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象

⒗光具有微粒和波动的双重性质,这种性质称为光的波粒二象性

⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。

⎧⎪E =h ν = ω⎪ h ⎪⎨P =n = k λ⎪⎪h 2π =, k =n ⎪2πλ⎩

⒚光谱线:光经过一系列光学透镜及棱镜后,会在底片上留下若干条线,每个线条就是一条光谱线。所有光谱线的总和称为光谱。

⒛线状光谱:原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。

21. 标识线状光谱:对于确定的原子,在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的,也就是说,可以表征原子特征的线状光谱。

第二章

⒈量子力学中,原子的轨道半径的含义。

⒉波函数的物理意义:某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释,描写粒子的波是几率波。

⒊波函数的特性:波函数乘上一个常数后,并不改变在空间各点找到粒子的几率,即不改变波函数所描写的状态。

⒋波函数的归一化条件 ⎰ψ(x , y , z , t ) d τ=1 (2. 1-7) ∞2

⒌态叠加原理:若体系具有一系列不同的可能状态Ψ1,Ψ2,…Ψn ,则这些可能状态的任意线性组合,也一定是该体系的一个可能的状态。也可以说,当体系处于态Ψ时,体系部分地处于态Ψ1,Ψ2,…Ψn 中。

⒍波函数的标准条件:单值性,有限性和连续性,波函数归一化。

⒎定态:微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数:描述定态的波函数称为定态波函数。。

⒐定态的性质:⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。

⒑本征方程、本征值和本征波函数:在量子力学中,若一个算符作用在一个波函数上,等于一个常数乘以该波函数,则称此方程为该算符的本征方程。常数f n 为该算符的第n 个本征值。波函数ψn 为f n 相应的本征波函数。

⒒束缚态:在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态:体系能量最低的态。

⒓宇称:在一维问题中,凡波函数ψ(x)为x 的偶函数的态称为偶(正) 宇称态;凡波函数ψ(x)为x 的奇函数的态称为奇(负) 宇称态。

⒔在一维空间内运动的粒子的势能为(μω2x 2)/2, ω是常数,这种粒子构成的体系称为线性谐振子。 ), n =0, 1, 2, 3, ⋅⋅⋅ 线性谐振子的能级为:E n = ω(n +⒕透射系数:透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数:反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。

⒖隧道效应:粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。

16.量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别?

答: 量子力学的波函数是一种概率波,没有直接可测的物理意义,它的模方表示概率,才有可测的意义;经典的波场代表一种物理场,有直接可测的物理意义。

17.什么是量子力学中的定态?它有什么特征?

答:定态是一种特殊状态即能量本征态,在定态下,一切显含时间的力学量(不管是否为守恒量)的平均值和几率分布都不随时间改变,粒子在空间的几率密度和几率流密度也不随时间改变。

第三章

⒈算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号,量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。

*ˆ为厄密算符。ˆ满足下列等式ψ*F ˆˆφ dx =F ψφ dx ,⒉厄密算符的定义:如果算符F 则称F ⎰⎰()

式中ψ和φ为任意波函数,x 代表所有的变量,积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论:量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。

⒊厄密算符的性质:厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

⒋简并:对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。

简并度:对应于同一个本征值的本征函数的数目。

⒌氢原子的电离态:氢原子中的电子脱离原子的束缚,成为自由电子的状态。

电离能:电离态与基态能量之差

⒍氢原子中在半径r 到r+dr的球壳内找到电子的概率是:W nl (r ) dr =R 2(r ) r 2dr   n l

在方向(θ,φ)附近立体角dΩ内的概率是:w lm (θ, ϕ) d Ω=lm (θ, ϕd Ω 

* ψ2d τ=0 式中积分是对变量变化的全部区域进行的,⒎两函数ψ1和ψ2正交的条件是:⎰ψ12

则称函数ψ1和ψ2相互正交。

⒏正交归一系:满足正交条件的归一化本征函数φk 或φl 。

ˆ的正交归一本征波函数,λ是本⒐厄密算符本征波函数的完全性:如果φn (r)是厄密算符F n

征值,则任一波函数ψ(r)可以按φn (r)展开为级数的性质。或者说φn(r)组成完全系。

ˆ的本征态φ时,⒑算符与力学量的关系:当体系处于算符F 力学量F 有确定值,这个值就是

ˆ在φ态中的本征值。力学量在一般的状态中没有确定的数值,而有一系列的可能值,算符F

这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。

ˆB ˆ 。 ˆ-B ˆA ˆ, B ˆ]≡A ⒒算符对易关系:[A

ˆ与B ˆ是可对易的; ˆ, B ˆ]=0,则称算符A 可对易算符:如果[A

ˆ与B ˆ是不对易的。 ˆ, B ˆ]≠0,则称算符A 不对易算符:如果[A

⒓两力学量同时有确定值的条件:

ˆ有一组共同本征函数φn ,而且φn 组成完全系,则算符ˆ 和 G 定理1:如果两个算符F

对易。

ˆ对易,则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。 ˆ 和 G 定理2:如果两个算符F

⒔测不准关系:当两个算符不对易时,它们不能同时有确定值,

2∴ (∆F) 2⋅(∆G ) 2≥ ⒕量子力学中力学量运动守恒定律形式是:

ˆˆ⎤=+⎡F , H ⎥=0 ⎢ ⎣⎦

量子力学中的能量守恒定律形式是:

ˆ=ˆ, H ˆ⎤=0 ⎡H ⎢⎥⎣⎦

⒖空间反演:把一个波函数的所有坐标自变量改变符号(如r →-r) 的运算。

宇称算符:表示空间反演运算的算符。

宇称守恒:体系状态的宇称不随时间改变。

16. 相关关系式:

⎡μ,p ˆ⎤=i δν⎥μν⎢⎣⎦, ⎡ˆ2⎤⎢L , L μ⎥=0, (μ=x , y , z ) ⎣⎦

⎧⎡ˆˆ⎤ˆ⎪⎢L x , L y ⎥=i L z ⎦⎪⎣

⎪⎡ˆˆ⎤ˆˆ⎤ˆˆˆ⎡ˆ (μ=x , y , z ) 综合写成 :L ⨯L =i L ⎨⎢L y , L z ⎥=i L x ⎢L μ,L μ⎥=0,⎦⎣⎦⎪⎣ ⎪⎡ˆˆ⎤ˆL z , L x ⎥=i L y ⎪⎢⎦⎩⎣

ˆ⎤ˆ⎤ˆ⎤⎡L ⎡L ⎡L μ=0, (μ=x , y , z ) , y =i z ; μ, x y , x ⎥=-i z ⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ˆ⎤ˆ⎤ˆ⎤ˆ⎤⎡L ⎡⎡⎡L z , y ⎥=-i x ⎢L z , x ⎥=i y ;     L x , z ⎥=-i y  y , z ⎥=i x ;     ⎢⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

ˆˆ⎤ˆˆ⎤ˆˆ⎤⎡L ⎡L ˆ; ⎡L ˆ p =0, (μ=x , y , z ) , p =i p , p =-i p μ, μ⎥x y ⎥z y x ⎥z ⎢⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦

ˆˆ⎤ˆˆ⎤ˆˆ⎤⎡L ⎡L ⎡ˆˆ⎤⎡L ˆˆˆˆy , p z ⎥=i p x ;     z , p y ⎥=-i p x ⎢L z , p x ⎥=i p y ;     x , p z ⎥=-i p y  ⎢⎢⎢⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎣

ˆ+L ˆ⨯p ⎡x , p ⎡x ˆ2f (x ) ⎤=2i p ˆf (x ), ˆ f (x ) p ˆ⎤=i ⎛ˆ+p ˆf (x ) ⎫ˆˆ=2i p , p f (x ) p , p ⨯ L ⎪x x x x x x ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭

第四章

⒈基底:设 e 1, e2, e3 为线性无关的三个向量,空间内任何向量 v 必是e 1, e2, e3 的线性组合,则e 1, e 2, e 3 称为空间的基底。正交规范基底:若基底的向量互相垂直,且每一向量的长度等于1,这样的基底叫做正交规范基底。

⒉希耳伯特空间:如果把本征波函数Φm 看成类似于几何学中的一个矢量(这就是波函数有时称为态矢量或态矢的原因) ,则波函数的集合{φm }构成的一个线性空间。

⒊表象:量子力学中,态和力学量的具体表示方式。

第五章

1. 斯塔克效应:在外电场中,原子光谱产生分裂的现象。

2. 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。

3. 周期微扰产生跃迁的条件是: ω=±ωmk 或 εm =εk ± ω,说明只有当外界微扰含有频率ωmk 时,体系才能从Φk 态跃迁到Φm 态,这时体系吸收或发射的能量是 ωmk ,这表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。

4. 光的吸收现象:在光的照射下,原子可能吸收光的能量由较低的能级跃迁到较高的能级的现象。

5. 原子的受激辐射(跃迁) 现象:在光的照射下,原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出光的现象。

6. 原子的自发辐射(跃迁) 现象:在无光照射时,处于激发态的原子跃迁到较低能级而发光的

现象。

7. 自发发射系数A mk :表示原子在单位时间内,由εm 能级自发跃迁到εk 能级,并发射出能量为 ωmk 的光子的几率。

8. 受激发射系数B mk :作用于原子的光波在ω→ω+d ω频率范围内的能量密度是I (ω) d ω,则在单位时间内,原子由εm 能级受激跃迁到能级εk 、并发射出能量为 ωmk 的光子的几率是B mk I (ωmk ) 。

9. 吸收系数B km :原子由低能级εk 跃迁到高能级εm 、并吸收能量为 ωmk 的光子的几率是B km I (ωmk ) 。

第七章

⒈斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由。

⒉塞曼效应:在外磁场中,每一条光谱线劈裂成一组相邻谱线的现象。

简单(正常) 塞曼效应:无外磁场时的一条光谱线,在磁场中将分裂为三条光谱线。 产生的条件是:当外磁场足够大时,自旋和轨道运动间相互作用可以忽略。

复杂(反常) 塞曼效应:无外磁场时的一条光谱线,在磁场中将分裂为更多条光谱线。 产生的条件是:在弱外磁场中,必须考虑自旋和轨道运动间相互作用。

⒊两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量S :

S =s (s +1) ,s =s 1+s 2,s 1-s 2=1, 0

所以两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量只能有两个可能值。

⒋两个电子轨道角动量耦合的轨道总角动量L :

L =(l +1) , l =l 1+l 2, l 1+l 2-1, l 1+l 2-2, ∙∙∙, l 1-l 2

对于两个电子,就有几个可能的轨道总角动量。

⒌电子自旋角动量与轨道角动量耦合为一个总角动量J 1:

J 1=l 1+s 1, l 1-s 1, s 1= 2

每个电子只有两个J 1值。

⒍LS 耦合总角动量J :

J =, j =l +s , l +s -1, l +s -2, ∙∙∙, l -s

⒎jj 耦合总角动量J :

J =, j =j 1+j 2, j 1+j 2-1, j 1+j 2-2, ∙∙∙, j 1-j 2

⒏价电子:原子最外层的电子。原子的化学性质以及光谱特性都决定于价电子。 ⒐内层电子:原子中除价电子外的剩余电子。

⒑原子实:原子核与内层电子组成一个完整而稳固的结构。

⒒电子组态:价电子所处的各种状态。

⒓原子态:原子中电子体系的状态。

⒔原子态符号:用来描述原子状态的符号。

⒕原子态符号规则:用轨道总量子数l 、自旋总量子数s 和总角动量量子数j 表示

①轨道总量子数l =0,1,2,···,对应的原子态符号为S , P , D , F , H , I , K , L , ···;

②原子态符号左上角的数码表示重数,大小为2s +1,表示能级的个数。

③原子态符号右下角是j 值 ,表示能级对应的j 值 。

形式为:2s +1S j , 2s +1P j , 2s +1D j , 2s +1F j , ∙∙∙

⒖光谱的精细结构:用分辨率足够高的仪器观察类氢原子的光谱线,会发现每一条光谱线并不是简单的一条线,而是由二条或三条线组成的结构,这种结构称为光谱的精细结构。 ⒗原子态能级的排序(洪特定则) :

(1)从同一电子组态形成的、具有相同L 值的能级中,那重数最高的,即S 值最大的能级位置最低;

(2)从同一电子组态形成的、具有不同L 值的能级中,那具有最大L 值的位置最低。 ⒘辐射跃迁的普用选择定则:

1、选择定则:原子光谱表明,原子中电子的跃迁仅发生在满足一定条件的状态之间,这些条件称为选择定则。

2、原子的宇称:如果原子中各电子的l 量子数相加,得到偶数,则原子处于偶宇称状态;如果是奇数,则原子处于奇宇称状态。

3、普遍的选择定则:跃迁只能发生在不同宇称的状态间,偶宇称到奇宇称,或奇宇称到偶宇称。电子能否有跃迁首先要考虑这一条,然后按照耦合类型再有以下定则。 ⒙LS 耦合选择定则:

① ∆S =0,要求单一态电子只能跃迁到单一态,三重态电子只能跃迁到三重态。 ②∆l =0, ±1,当∆l =0时,要考虑宇称奇偶性改变的要求。

③∆j =0, ±1 , j =0 至 j =0的跃迁是禁止的。

jj 耦合选择定则:

①∆j 1 ∆j 2=0, ±1

②∆j =0, ±1, j =0 至 j =0的跃迁是禁止的。

⒚全同粒子:质量、电荷、自旋等固有性质完全相同微观粒子。

⒛全同粒子的特性:全同粒子具有不可区分性,只有当全同粒子的波函数完全不重叠时,才是可以区分的。

21. 全同性原理: 在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

22. 对称波函数:设q i 表示第i 个粒子的坐标和自旋,Φ(q1, …,q i ,q j , …,t) 表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数不变,则Φ是q 的对称波函数。

23. 反对称波函数:设q i 表示第i 个粒子的坐标和自旋,Φ(q1, …,q i ,q j , …,t) 表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数变号,则Φ是q 的反对称波函数。

24. 对称性守恒原理:描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的,它们的对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称(反对称) 的状态,则它将永远处于对称(反对称) 的状态上。

25. 费密子:自旋为或奇数倍的全同粒子。费密子的特点:组成体系的波函数是反对称22()

的,服从费密—狄拉克统计。

26. 玻色子:自旋为零、 或 整数倍的全同粒子。玻色子的特点:组成体系的波函数是对称的,服从玻色—爱因斯坦统计。

27. 交换简并:由全同粒子相互交换而产生的简并。

28. 泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。

29. 交换能的出现,是由于全同粒子的波函数必须是对称波函数或反对称波函数的缘故。

30. 交换能J 与交换密度有关,其大小决定于两个电子波函数重叠的程度。重叠程度越大,交换能就越大。

31.LS 耦合引起的精细结构分析。如n=3能级中,有一个p 电子和d 电子所引起的能级差别(原子态) 。

32. 对氢原子,不考虑电子的自旋,能级的简并度,考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时,能级的简并度,如再考虑自旋与轨道角动量的耦合,能级的简并度。

33. 反常塞曼效应的特点,引起的原因。(碱金属原子能级偶数分裂;光谱线偶数条;分裂能级间距与能级有关;由于电子具有自旋。)

量子力学期末试题及答案一

一、(20分)已知氢原子在t =0时处于状态

⎛1⎫2⎛0⎫⎛1⎫1

ψ(x ,,0) =ϕ2(x ) ⎪-ϕ1(x ) ⎪+3(x ) ⎪ 01333⎝⎭⎝⎭⎝0⎭

其中,ϕn (x ) 为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值,写出t >0时的波函数。

解 已知氢原子的本征值为

E n =-μe 41

2 2n 2, n =1, 2, 3, (1)

将t =0时的波函数写成矩阵形式

⎛1⎫ϕx +x 2(

)3()⎪33⎪ (2) ψ(x ,0) = 2⎪-ϕ1(x ) ⎪3⎝⎭

利用归一化条件

2c ⎛1**d x ϕx +3(x )(

) ⎰ 32-∞⎝∞⎛1⎫⎫ 3ϕ2(

x )+33(x )⎪2*⎪-ϕ1(x )⎪⋅ ⎪32⎪⎭ -ϕx () ⎪ (3) 13⎝⎭

⎛124⎫272= ++⎪c =c 9⎝999⎭

于是,归一化后的波函数为

ψ(x ,0) =⎫1⎫(

x )+3(

x )⎪ϕx x 32(

)3()⎪2⎪ (4) ⎪=⎪2⎪ -ϕ1(

x )1(x )⎪⎪ 3⎝⎭⎝⎭

能量的可能取值为E 1, E 2, E 3,相应的取值几率为

W (E )=1, 0

能量平均值为 41; W , 0=(E )2772; W (5) (3E ), 7

412E 1+E 2+E 3=777 (6) 44μe ⎡411121⎤161μe -2⎢⨯+⨯+⨯⎥=-2 ⎣717479⎦504 2E 0=

自旋z 分量的可能取值为, -,相应的取值几率为 22

⎛ W s z =, 2⎝ ⎫⎫123⎛0⎪=+=W ; s z =-, ⎪0=2⎭⎭777⎝4 (7) 7

自旋z 分量的平均值为

3 4⎛ ⎫ s z 0=⨯+⨯ -⎪=- (8) 727⎝2⎭14

t >0时的波函数

⎡i ⎤⎡i ⎤⎫x exp -E t +x exp -E t 2(

)2⎥3(

)3⎥⎪⎢⎢ ⎣⎦⎣⎦⎪ψ(x , t ) = (9) ⎪⎡i ⎤ ⎪x exp -E t ()11 ⎪⎢⎥⎣ ⎦⎝⎭

二. (20分) 质量为m 的粒子在如下一维势阱中运动(V 0>0)

x

⎪0, x >a ⎩

若已知该粒子在此势阱中有一个能量E =-V 0的状态,试确定此势阱的宽度a 。 2

解 对于-V 0

⎧ψ1(x )=0⎪ ⎨ψ2(x )=A sin (kx +δ) (1)

⎪ψ(x )=B exp (-αx )⎩3

其中,

k =2m (E +V 0)

; α = 2m E

(2)

利用波函数再x =0处的连接条件知,δ=n π,n =0, 1, 2, 。

在x =a 处,利用波函数及其一阶导数连续的条件

ψ2(a )=ψ3(a )

ψ(a )=ψ(a )'

2' 3 (3)


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