第七周初中数学教研活动会议记录

第七周初中数学教研活动会议记录

城关二中

时间: 2011年10月15日

地点: 城关二中数学办公室

课题: 2.1 花边有多宽(1)教学交流 主持: 李敏

参加人员:初三数学教师。

一、2.1 花边有多宽(1)教学交流

花边有多宽数学教案;课 题

§2.1.1 花边有多宽(一)

教学目标:(一)知识与技能: 1.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的有关概念. (二)过程与方法: 1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型. 2.理解一元二次方程的概念

(三)情感、态度与价值观:从生活实际中抽象出数学问题,让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识. 教学重点:一元二次方程的概念a≠0 教学难点: 一元二次方程的概念:a≠0 教学方法: 启发诱导式 教具准备:投影片四张

第一张:花边有多宽(记作投影片§2.1.1 A) 第二张:数学问题(记作投影片§2.1.1 B) 第三张:实际问题(记作投影片§2.1.1 C) 第四张:想一想(记作投影片§2.1.1 D) 教学过程: Ⅰ.创设现实情景、引入新课

[师]前面我们学过黄金分割,知道黄金比是多少吗? [生]黄金比是0.618.

[师]很好,你知道黄金比为什么是0.618吗? „„

[师]好,经济时代的今天,你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?„„

从今天开始,我们来学习能解决这些问题的知识:第二章:一元二次方程. 与一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型. 下面我们来学习第一节:花边有多宽. Ⅱ.讲授新课

[师]我们来看一个实际问题(出示投影片§2.1.1 A);大家来讨论讨论.

一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5 m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m,那么花边有多宽?

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[生]我们可以利用列方程来求解.

[师]很好,那如何列方程来求解实际问题呢?想一想,前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法. [生]要从题中,找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系.

这个题已知:这块地毯的长为8 m,宽为5 m,它中央长方形图案的面积为18m. 这个题所要求的是;地毯的花边有多宽. 本题是以面积为等量关系.

[师]这位同学分析得很好,下面我们共同来利用这些数量关系列出方程.

[师生共析]如果设花边的宽为x m,那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m,宽为(5-2x)m,根据题意,可得方程

(8-2x)(5-2x)=18

注意:1.利用列方程解实际问题时,关键是要找到等量关系,如本题中的面积等于长乘以宽. 2.用一个含有未知数的代数式表示一个量,并且这个量有单位时,需要把这个代数式用括号括起来,如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等.

[师]好,下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 2.1.1 B): 观察下面等式 10+11+12=13+14.

你还能找到其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? [生]这个题我们也可以利用数量关系列方程.

[师]很好,如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面的四个数该如何表示呢?

[生甲]因为任何两个连续整数的差为1.所以,如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4. [生乙]根据题意,则可得到方程 x+(x+1)+(x+2) =(x+3)+(x+4).

[生丙]老师,我觉得这个题也可以设中间的那个数为x,那么其余四个数依次为x-2,x-1,x+1,x+2,由此也可得方程 (x-2)+(x-1)+x =(x+1)+(x+2). 这样行吗?

[师]丙同学的思路很好, 这个问题可以有不同的设未知数的方法,同学们可灵活设未知数,即可设这五个数中的任意一个,其他四个数可随之变化.

下面我们来看一个实际问题(出示投影片§2.1.1 C):

如图,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m,如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米?

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[师]同学们分组讨论,列出方程.

[生甲]墙与地面是垂直的,因而墙、地面和梯子构成了直角三角形.已知梯子的长为10 m,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m,所以由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙有6 m.

[生乙]设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m,根据题意,利用勾股定理,可得方程. (x+6)+(8-1)=10, 即(x+6)+7=10.

[师]同学们讨论得很完整,接下来想一想,议一议(出示投影片§ 2.1.1 D): 由上面三个问题,我们可以得到三个方程: (8-2x)(5-2x)=18, x+(x+1)+(x+2) =(x+3)+(x+4), (x+6)+7=10.

这三个方程有什么共同特点?

[生甲]这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式. [生乙]我把这三个方程进行了化简,即 (1)(8-2x)(5-2x)=18, 40-26x+4x=18, 4x-26x+22=0. (2)x+(x+1)+(x+2) =(x+3)+(x+4), x+x+2x+1+x+4x+4 =x+6x+9+x+8x+16, x-8x-20=0. (3)(x+6)+7=10, x+12x+36+49=100, x+12x-15=0.

由此可以知道:这三个方程可以化简为三项的和. [生丙]把这三个方程经过化简后,最高次数是二次. [生丁]这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数.

[师]同学们总结得很好.上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程,称为整式方程,如:我们学习过的一元一次方程,二元一次方程等都是整式方程.这三个方程还都可以化为ax+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的形式,这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown),即只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

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注意:

1.一元二次方程必须同时满足以下三点; (1)方程是整式方程. (2)它只含有一个未知数.

(3)未知数的最高次数是2,即化简为ax+bx+c=0时,a≠0.

2.任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分,不可漏掉,否则就不是一元二次方程了.

因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax+bx+c=0《a≠0》的形式,所以我们把ax+bx+c=O(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项,a、b分别称为二次项系数和一次项系数. 注意:

(1)当a=0,b≠0时,方程就是一元一次方程,当一个方程是一元二次方程时,则隐含 了条件:a≠0.

(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式. Ⅲ.应用、深化 课本P43随堂练习

1.从前有一天,二个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗? 请根据这一问题列出方程.

解:设竹竿长为x尺,则门框宽为(x-4)尺,门框高为(x-2)尺,根据题意,得x= (x-4)+(x-2), 即x-12x+20=0

2.把方程(3x+2)=4(x-3)化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

解:方程(3x+2)=4(x-3)的一般形式是5x+36x-32=0. 方程的二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32. Ⅳ.课时小结

本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念.

1.一元二次方程属于“整式方程”,其次,它只含有一个未知数,并且都可以化为 ax+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的形式.

2.一元二次方程的一般形式为ax+bx+c=O(a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.

3.在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中,体会学习一元二次方程的必要性和重要性. Ⅴ.课后作业

(一)课本P44习题2.1 1、2 (二)1.预习内容:P44-P46 2.预习提纲

探索一元二次方程的解或近似解, Ⅵ.活动与探究

1.当d、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x-bx+c=0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x-bx+c=0是一元一次方程? [过程]让学生通过讨论、总结,知道:对于方程ax+bx+c=0,当a≠0时.是一元 二次方程;当a=0且b≠0时,方程为bx+c=0,是一元一次方程. [结果]

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当a≠1时,方程(a-1)x-bx+c=0是一元二次方程,这时,方程的二次项系数是a-1,一次项系数是-b.

当a=1且b≠0时,方程是一元一次方程.

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李老师:

今天我们以聊天方式分享自己的经验,谈谈2.1 花边有多宽,大家可以积极参与发言。 白老师:

2.1 花边有多宽 基于学生对方程认识的基础之上,提出了具体学习任务:1、经历抽象一元二次方程概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看,还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。在设计上面有点缺少。 郭老师:

投影片§2.1.1 A 提出了半开放性的问题:根据这一情境,结合这些已知量,要求学生根据条件列出关系式,旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力,同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。 马老师:

投影片§ 2.1.1 B 直接给出方程没有说服力,所以先让学生猜想。学生得到的猜想是:是否还存在五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数,在难以找到的情况下,促使学生想办法归结为方程去解决。 刘老师:

投影片§2.1.1 C 先让学生理解题意,然后让一生结合图示分析题意,这样等量关系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫,学生自然地设梯子底端滑动Xm,从而列出方程,问题解决得很顺畅。 陈老师:

应用、深化阶段设计了联系生活的例子比较好。 金老师:

活动与探究设计比较适合学生进一步理解了方程定义。 李老师:

老师有意识放学生的手,进行口头表达,培养了表达能力。 把学生分成小组,让学生自己讨论比较好。

总之,这次会议内容比较丰富,大家都获益良多。采用新的形式进行教研,使教研活动更加有趣。希望下次教研能够更精彩。 二、改进后的教学案例:

2.1 花边有多宽(1)

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础:学生在七年级已学过一元一次方程的概念,经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程;学生在八年级已学过二元一次方程组的概念,经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程;学生已理解了“元”和“次”的含义,具备了学习一元二次方程的基本技能。

学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验和数学思考,具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析

教科书基于学生对方程认识的基础之上,提出了本课的具体学习任务:1、经历抽象一元二次方程概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看,还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。 三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节:第一环节:自主探究问题一;第二环节:自主探究问题二;第三环节:自主探究问题三;第四环节:总结归纳;第五环节:学以致用;第六环节:反思;第七环节:布置作业。

第一环节:自主探究问题一

活动内容:

出示问题一:一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的长为

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8m,宽为5m.地毯中央长方形图案的面积为18m。

让学生根据这一问题情境提出问题:根据这一情境,结合已知量你想求哪些量?你能根据条件列出关于这个量的什么关系式?

活动目的:

提出了半开放性的问题:根据这一情境,结合这些已知量,你想求哪些量?旨在培养学生的问题意识;要求学生根据条件列出关系式,旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力,同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。

教学要求与效果:

教学中,为了帮助学生理解题意,可以首先提出问题:你能找到图中的地毯、花边和中央长方形吗?并让一生指出对应的三部分;接着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形,自己画出所抽象出的几何图形,然后教师呈现第二幅图。

教学中教师可以一次完成下列任务: (1)罗列学生提的问题;

(2)引导学生分析所提问题满足的条件,提出解答的方式; (3)引导学生列出相应的方程并整理。 从实际效果来看,学生提出的问题多样有:(1)花边的宽,(2)中央长方形的长、宽等;学生列方程问题不大,所列方程也多样,依据的等量关系不同,得到的方程也不同;但是,整理方程时显得困难,这与课前没有复习整式的运算有直接的关系。 第二环节:自主探究问题二

活动内容:

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在学生的疑问处提出问题:你能找到关于10、11、12、13、14这五个数之间的等式吗?

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得到等式10+11+12=13+14之后你的猜想是什么?

根据猜想继续找五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。 在难以找到的情况下,归结为方程去解决。 活动目的:

上述问题直接给出方程没有说服力,所以先让学生猜想。学生得到的猜想是:是否还存在五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数,在难以找到的情况下,促使学生想办法归结为方程去解决。

教学要求与效果:

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找到等式10+11+12=13+14之后的猜想不同。再找五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和,部分学生有困难,寻找的方式也有不同。有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试,有的同学直接归结为方程去解决。

首先,“我”巡视那些无从下手的学生,问:需要我的帮助吗?然后给予必要的指导。 然后巡视那些已经解决问题的同学,给予适当的鼓励。关注学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识,及时给予鼓励、指导。

从实际效果来看,学生的学习积极性很高,课上到这儿达到一个小高潮。 第三环节:自主探究问题三

活动内容:

如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米?

活动目的: 通过前两个环节的学习,直接让学生设未知数,列出适合条件的方程。 活动的实际效果:

先让学生理解题意,然后让一生结合图示分析题意,这样等量关系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫,学生自然地设梯子底端滑动Xm,从而列出方程,问题解决得很顺畅。 第四环节:总结归纳

活动内容:

归纳一元二次方程的概念:结合上面三个问题得到的三个方程,观察它们的共同点,得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

活动目的:

关注学生对概念的理解,通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念,加深对概念的理解。

活动的实际效果:学生基本能识别一元二次方程及各个部分。 第五环节:学以致用

活动内容:

1、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

2.从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程.

活动目的:

及时巩固一元二次方程的有关概念,巩固学生通过实际问题列出相应方程。 活动的实际效果:

问题(1)中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时,部分学生可能容易忽视符号,作为第一次学习,这是难免的。当然,教学中也可以在第4环节中设计一种反向的问题,如给出各项系数,请写出事故和条件的方程;也可以在第四环节中,直接和学生辨析到底各项系数是什么。

问题(2),实际问题,可能有部分学生不能理解题意,部分学生不能很快列出相应的方程,教师要鼓励学生自己找到等量关系,然后将直角三角形的各边表示出来。 第六环节:反思

活动内容:

让学生通过本节课的学习,自己归纳本节的知识要点,学会了什么?还有哪些困惑? 活动目的:

让学生学会自己梳理知识要点,提高归纳总结的能力。 活动的实际效果:

绝大多数学生能自己归纳出本节的知识要点,也清楚自己的困惑和存在的问题。 第七环节:布置作业

作业:P45 习题2、1


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