线性代数第二章习题部分答案

第二章 向量组的线性相关性

§2-1 §2-2 维向量,线性相关与线性无关(一) 一、 填空题 1. 设

2. 设

则线性组合

3. 设矩阵

.

, 其中则

,

.

,设为矩阵的第个列向量,

.

二、 试确定下列向量组的线性相关性 1.

解:设即

,线性无关。

2.

线性相关

三、设有向量组

问取何值时该向量组线性相关。 解:设

则即

所以, 四、设

线性无关,

线性相关,求向量用

, 线性相关

;

, 线性无关

线性表示的表示式。

解:因为使得因

为b= 五

线性相关,所以存在不全为零的

线性无关,所

.

+

+

b=

,,

. 又

,于是,

向量

组,

求证向量组

线性相关。

解:因为所以,向量组

§2-2线性相关与线性无关(二)

一、 设

线性相关,

线性相关,问

是否

线性相关。

一定线性相关?并举例说明之。 解:取

,

线性相关。

.

,

线性无关。

.

二、举例说明下列各命题是错误的: 1.若向量组性表示。 解:取

2.若有不全为0的数

成立,则解:取

3. 若只有当

才能成立,则

是线性无关,

全为0时,等式

是线性无关。

是线性相关,,

. , 使

是线性相关.

.

是线性相关的,则可由

线

解:取

4.若有不全为0

的数

, .

是线性相关,

,使

是线性相关,则

同时成立。 解:取

三、 设向量组量

线性相关,且

) ,使能由

, 证明存在某个向

,

.

线性表示。

线性相关,所以存在不全为零的,

设,,

中,又因

) ,使

证明:因为向量组,

使得

最后一个不为零的数是,即为

,所以

。即

,命题得证。

四、 已知证明:(1)能由示。

证明:(1

)因为

理1

也线性无关;又因为

线性表示。

线性表示。再利用(1)的结

线性相关,线性表示。

,所以

线性无关,由定,所以,,

线性表示。(2)不能由

线性表

线性相关,由定理3

得能由(2)反证法。假设能由果,可推出能由与

五、

,

,

线性表示,由定理2得矛盾。所以,不能由

,且向量线性无关。

,则

线性无关,证明向量组

证明:设

而向量线性无关,所以,

所以,向量组

§2-3 极大无关组(一)

一、 证明n 阶单位矩阵的秩为n. 证明:n

阶单位矩阵的列向量组

,

, 则

线性无关。

所以,

线性无关,秩为n ,则n 阶单位矩阵的秩为n.

二、

设矩阵

其中)

则.

证明:设矩阵的列向量组为

, 则

所以,

三、 求下列向量组的秩 1.

R=3

线性无关,秩为n ,则

.

2.

解:A=()=

所以,R (

四、

是一组维向量,已知

维单位坐标向量

能由它们线性表示,证明

证明:因为

维单位坐标向量

示,所以

,于是,

线性无关。

能由

线性无关。

线性表,

)=2,

为极大无关组。

五、

设是一组维向量,证明它们线性无关的充分

必要条件是:任一维向量都可由它们线性表示。 证明:充分性:如果任一

维向量都可由则

维单位坐标向量

上一题的结果,必要性:如果

能由线性无关。

线性无关,对于任一维向量.

,

线性表示,线性表示,利用

,所以,向量

能由

线性表示。

如果量线性相关,而

线性表示。

(另证:如果

性表示。)

线性无关,而

的一组基,所以

的维数是n

,所以

,则

这n+1个n 维向

线性无关,由定理3得向量

能由

中的一维向量都可由它们线

§2-3 极大无关组(二)

一、

阶。

证明:设A

的列向量组为

;B 的列向量组为

.

则A+B

的列向量组为(A,B)

的列向量组所以,

又(A,B)

的列向量组

,所以,

.

二、设向量组性表示

能由向量组

线

.

能由能由

线性表示,,极大无关组为

,极大无关组

其中为

矩阵,且线性无关。证明线性无关的充分表要条

.

件是矩阵的秩为

证明 ⇒若B 组线性无关 令B =(b 1, , b r )

A =(a 1, , a s ) 则有B =AK

由定理知R (B ) =R (AK ) ≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ) 由B 组:b 1, b 2, , b r 线性无关知R (B ) =r ,故R (K ) ≥r . 又知K 为r ⨯s 阶矩阵则R (K ) ≤min{r , s }

由于向量组B :b 1, b 2, , b r 能由向量组A :a 1, a 2, , a s 线性表示, 则

r ≤s ∴min{r , s }=r

综上所述知r ≤R (K ) ≤r 即R (K ) =r .

⇐若R (K ) =r , 则K 的列向两组线性无关。

令x 1b 1+x 2b 2+ +x r b r =0, 其中x i 为实数i =1, 2, , r

⎛x 1⎫ ⎪

则有(b 1, b 2, , b r ) ⎪=0

x ⎪⎝r ⎭

⎛x 1⎫ ⎪

又(b 1, , b r ) =(a 1, , a s ) K , 则(a 1, , a s ) K ⎪=0

x ⎪⎝r ⎭

⎛x 1⎫ ⎪ x 2⎪

由于a 1, a 2, , a s 线性无关, 所以K ⋅ ⎪=0. 由K 的列向两组线性无

⎪ x ⎪⎝r ⎭

⎛x 1⎫ ⎪x 2⎪ =0 关知 ⎪ ⎪⎝x r ⎭

三、设

证明:向量组与向量组等价。

证明:因为

所以,向量组可以由向量组线性表示。

把各式相加后得

可得

所以,向量组由上,向量组

可以由向量组与向量组

线性表示。 等价。

四、已知3阶矩阵与3维列向量满足量组

线性无关,记

,求3阶矩阵使

.

,且向

提示:

§2-4

一、设

§2-5 向量空间,内积与标准正交基

, ,

问答:

二、

验证:

一个基, 并把

用这个基线性表示.

是不是向量空间,为什么? 是,不是,是

,

为的

解:

()=

所以,

三、 证明

中不存在n+1个线性无关的向量,从而

中不存

.

在n+1个两两正交的非零向量。 证明:因为向量。

又因为两两正交的非零向量,

中不存在n+1个两两正交的非

的维数是n ,所以

中不存在n+1个线性无关的

零向量。 四、

把下列向量组规范正交化

解:

所以,

六、证明下列各题 (1) 为维列向量,且

阵。 (2) 设证明:

.

, 求证:是对称的正交

为同阶正交阵,证明:也是正交阵。

(1)称;

,H 对

,H

正交。 (2)因为

为同阶正交阵,所以,

,所以,

,于是,

也是正交阵。

复习题

一、

3二、

.

三、向量

是否为向量组线性表达式. 四、设

线性无关,求证:向量组

五、 求下列向量组的秩,并求出一个最大无关组

,

向量组也线性无关。

的线性组合?若是,写出一个

.

1、

2、

3、

六、设有矩阵

向量组线性无关。

七、已知

,且

。若

,试证明的列

,证明:

.

八、

设为阶方阵,试证:(1

; (2

九、

问取何值时,向量

线性相关。

十、设线

证明三直

相交于一点的

充分必要条件为:向量组十一、设有向量

线性无关且线性相关.

的秩相等且十二、已知标 1.

2.

可由组线性表示,求的值

的基下的坐

,求在下列3

维向量空间

自测题(A )

一、

二、已知三维向量

满足求

三、 讨论下列向量组的线性相关性

四、求下列矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组

四、

验证

一个基,并求

在这组基下的坐标.

自测题(B)

一、单项选择题

1. 设向量组不能(A )

线性相关

(C )

线性相关

2.

设向量组

表示,则( ) 可由向量组线性线性无关 (D )线性无关,可由线性表示,为的由线性表示,则对于任意常数必有( ) 线性无关 (B )

(A )当

必线性相关

(C )当

必线性相关

3.

时,B 组必线性相关 (B )当时,B 组时,A 组必线性相关 (D )当时,A 组设

则该向量组的最大无关组是( )

(A

4. 向量组

(A )

(B )

(C )

(D )量线性表示 线性无关的充分必要条件是( ) 均不为零向量 中有一部分向量组线性无关 中任意两个向量的分量不对应成比例 中任意一个向量都不能由其余个向 (B ) (C

) (D

二、填空题

1.

设三阶矩阵

,三维列向量已知与线性相关, 则知向量

则该向量组的秩是. 2. 已

三、已知向量

组线性无关,

试讨论向量组

的线性相关性 四、假设

个向量

量线性无关,证明:

1.

如果存在等式

者全为零或者全不为零

2. 如果存在

, 那么或线性相关,但其中任意个向

那么

五、已. 知向量

的一组基,试求向量

在下的坐标.

六、在

中取定一个基

,再取一个新基

,求用表示,

设的

表达式(基变换公式),并求向量在两个基中的坐标之间的关系式。


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