化归与转化思想

一、知识整合

1.解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、

类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一

个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原

问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。

2.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。除极简单的数学问题外,

每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决

数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根

本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如

未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间

的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,

高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想

的体现。

3.转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能

使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以

保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。

4.化归与转化应遵循的基本原则:

(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的

知识、经验和问题来解决。

(2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,

达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。 (3)和谐化原则:

化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,

或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规

律。(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。(5)正

难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反

面去探求,使问题获解。

二、例题分析

例1.某厂2001年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂

方正在改造建设,元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等,随着投入资金的

逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建设资金又恰好与12

月的生产利润相同,问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系是 ( )

A. m>N B. m

润组成一个等差数列{an },且公差d >0,每月的投资额组成一个等比数列{bn },

且公比q >1。a 1=b 1,且a 12=b 12,比较S 12与T 12的大小。若直接求和,很难比较

出其大小,但注意到等差数列的通项公式a n =a1+(n-1)d 是关于n 的一次函数,其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式b n =a1q n-1是关于n 的指数函数,其图象是指数函数上的一些点列。

在同一坐标系中画出图象,直观地可以看出a i ≥b i 则S 12>T 12,即m >N 。 [点

评]把一个原本是求和的问题,退化到各项的逐一比较大小,而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵,通过对问题的反思、再加工后,使问题直观、形象,使解答更清新。

例2.如果,三棱锥P —ABC 中,已知PA ⊥BC ,PA=BC=l,PA ,BC 的公垂线

1ED=h.求证三棱锥P —ABC 的体积V =l 2h . 6

分析:如视P 为顶点,△ABC 为底面,则无论是S △ABC 以及高h 都不好求.如

果观察图形,换个角度看问题,创造条件去应用三棱锥体积公式,则可走出困境.

解:如图,连结EB ,EC ,由PA ⊥BC ,PA ⊥ED ,ED ∩BC=E,可得PA ⊥面ECD .这样,截面ECD 将原三棱锥切割成两个分别以ECD 为底面,以PE 、AE 为高的小三棱锥,而它们的底面积相等,高相加等于PE+AE=PA=l,所以

1111V P -ABC =VP -ECD +VA -ECD =S △ECD •AE+S △ECD •PE=S △ECD •PA=•333311BC ·ED ·PA=V =l 2h . 26

评注:辅助截面ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解.

例3.在(x 2+3x +2) 5的展开式中x 的系数为( ).

(A)160 (B)240 (C)360 (D)800

分析与解:本题要求(x 2+3x +2) 5展开式中x 的系数,而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理,因此,就要把对x 系数的计算用上述两种思路进行转化:

思路1:直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解,则(x 2+3x +2) 5展

2开式是一个关于x 的10次多项式,(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x 2+3x +2) 5 =(x+3x+2)

(x2+3x+2) (x2+3x+2),它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一

14次项3x 并在其余四个括号中均选 择常数项2相乘得到,故为C 5·(3x)··24=5C 4

×3×16x=240x,所以应选(B).

思路2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算,∵x 2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x),∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法.①如利用x 2+3x+2=x2+(3x+2)转化,可以发

5现只有C 5(3x+2)5中会有x 项,即C 54(3x)·24=240x,故选(B);②如利用x 2+3x+2=

411(x2+2)+3x进行转化,则只C 5 (x2+2) ·3x 中含有x 一次项,即C 5·3x ·C 44·24=240x;

③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化,就只有C 54·(x2+3x)·24中会有x 项,

即240x ;④如选择x +3x+2=(1+x)(2+x)进行转化,(x 2+3x +2) 5=(1+x ) 5×(2+x ) 52

展开式中的一次项x 只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到,即为151x ·C 52+C 5•2•x •C 50•1=160x+80x=240x,故选(B). C 5545

评注:化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。

例4.若不等式x 2+px >4x +p -3对一切0≤p ≤4均成立,试求实数x 的取

值范围。解:x 2+px >4x +p -3 ∴(x -1) p +x 2-4x +3>0

令g (p ) =(x -1) p +x 2-4x +3,则要使它对0≤p ≤4均有g (p ) >0,只要有

⎧g (0)>0 ∴x >3或x 0⎩

的问题中,常常有一个变元处于主要地位,我们称之为主元,由于思维定势的影响,在解决这类问题时,我们总是紧紧抓住主元不放,这在很多情况下是正确的。

但在某些特定条件下,此路往往不通,这时若能变更主元,转移变元在问题中的地位,就能使问题迎刃而解。本题中,若视x 为主元来处理,既繁且易出错,实行主元的转化,使问题变成关于p 的一次不等式,使问题实现了从高维向低维转化,解题简单易行。

三、总结提炼

1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙。

2.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题。


相关内容

  • 转化与化归思想

    转化与化归思想 时间:2011-05-18 11:39:43 来源: 作者: 虞红燕 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化, 进而得到解决的一种方法. 一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的 ...


  • 小学数学转化思想应用列举

    小学数学转化思想应用列举 南通市通州区实验小学 周春国 转化思想,作为数学学习最基本的思想方法,主要表现为数学知识的某一形式向另一形式转变,具体表现为化新为旧.化繁为简.化曲为直.化数为形等等.学生面对的各种数学问题,可以简单地分为两类:一 ...


  • 浅谈中学数学转化与化归思想的巧妙运用

    浅谈中学数学转化与化归思想的巧妙运用 陈运栋 (湛师10级 数本1班 32 广东湛江,524048) 摘要:转化与化归是数学思想方法的灵魂,如今中学数学中许多问题的解决都离不开转化与化归. 本人将通过巧妙运用转化与化归的思想原则及方法策略, ...


  • 在小学数学教学中怎样渗透转化思想

    在小学数学教学中怎样渗透转化思想 遵义恺瑞国际学校--庞瑞 摘要:小学数学是义务教育的一门重要学科,它是为学生后续学习打基础的,它蕴含着许多与高等数学相通的数学思想方法.转化思想是其中一种非常重要的数学思想,也是解决数学问题常用的一种策略. ...


  • 数学的基本思想

    数学的基本思想 摘要 本文主要探讨了数学的基本思想.通过对构造思想和转化思想的涵义.分类与它们之间的关系解析,得出数学的基本思想是构造思想和转化思想,其它的数学思想都可以通过构造和转化纳入这两个思想范畴. 关键字:基本思想 构造 转化 正文 ...


  • 初中数学中的转化思想

    初中数学中的转化思想 北京214中 王永俊 转化思想是常用的数学思想之一.它是指在研究新问题或复杂问题时,常常把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决,因此转化思想在初中的代数.几何中成为一个重要的数学思想. 初中的代数.几何中大量地渗透着 ...


  • 变则通,通则达

    摘 要:在高中数学中转化思想已被广泛应用,人们在教育教学的过程中,对转化思想在应用过程中应遵循的原则.常见的方法等都有了广泛的研究.此外,在例题教学中,还要善于引导学生的转化思维,让学生明白一个数学问题为什么要转化为另一个问题来解决:引导学 ...


  • 转化与化归思想解题技巧

    所谓转化与化归思想,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段,将问题通过变换使之转化归结为在已有知识范围内可以解决的一种方法.数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归,数形结合思想体现了数与形的转化:函数与方程思想体现了函数.方程与不等 ...


  • 初中数学的转化思想

    浅议初中数学的转化思想 摘要:转化思想在解数学题时,所给条件往往不能直接应用, 此时需要将所给条件进行转化,这种数学思想叫转化思想,在解题 中经常用到,它包括未知向已知的转化,陌生向熟悉的转化,复杂 向简单的转化,抽象向具体的转化:多元向一 ...