利用函数性质判定方程解的存在 教案 2017-2018学年高中数学 北师大版 必修一

1. 知识与技能

(1)结合二次函数的图象, 理解零点的定义及方程的根与函数的零点的等价条件, 学会判断函数零点的存在性及零点的个数, 从而体会函数的零点与方程的根的联系;

(2)理解并会运用函数在某个区间上存在零点的判定方法. 2. 过程与方法

培养学生观察、思考、分析、猜想、验证的能力, 并从中体验从特殊到一般及函数与方程的思想.

3. 情感、态度与价值观

从函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.

重点:体会函数的零点与方程的根之间的联系, 掌握零点存在的判定条件. 难点:探究发现函数零点的存在性.

重难点的突破:以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台, 通过让学生观察方程和函数形式上的联系, 引导学生得出三个重要的等价关系, 体现了“化归”和“数形结合”的数学思想, 为探索零点存在定理做好铺垫.

在此基础上, 以学生熟悉的一次函数、二次函数为载体, 运用数形结合的思想, 借助多媒体, 以动态的形式演示函数值在零点附近的变化规律, 通过学生的观察、思考、交流、探索归纳出连续函数y=f(x ) 在区间(a , b ) 内一定有零点的条件:f (a )·f (b )

函数思想与方程思想的再探讨

函数是数学的一个重要概念, 它渗透在数学的各部分内容中, 一直是高考的热点、重点内容. 函数思想, 就是用运动变化的观点, 分析和研究具体问题中的数量关系, 建立函数关系, 运用函数的知识, 使问题得到解决. 这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征, 重在对问题的变量的动态研究, 从变量的运动变化联系和发展角度拓宽解题思路, 和函数有必然联系的是方程, 方程f (x ) =0的解就是函数y=f(x ) 的图象与x 轴的交点的横坐标, 函数y=f(x ) 也可以看作二元方程f (x ) -y=0, 通过方程进行研究, 要确定变化过程中的某些量, 往往要转化为求出这些量满足的方程, 希望通过方程(组) 来求得这些量. 方程思想是动中求静, 研究运动中的等量关系.

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质, 解有关求值、解方程以及讨论参数的取值范围等问题; 二是在问题的研究中, 通过建立函数关系式或构造中间函数, 把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质, 达到化难为易, 化繁为简的目的.

函数与方程的联系:

(1)函数与方程是互相联系的, 在一定条件下, 它们可以互相转化, 如解方程f (x ) =0就是求函数y=f(x ) 的零点, 方程f (x ) =g(x ) 的解就是函数y=f(x ) 与y=g(x ) 的图象的交点的横坐标.

(2)函数思想在于揭示问题的数量关系的本质特征, 运用函数思想解题, 重在对问题中变量的动态研究, 从变量的运动、变化、联系和发展角度打开思路, 而方程思想则是研究运动中的等量关系. 函数思想与方程思想常常是相辅相成的, 函数的研究离不开方程. 列方程、解方程和研究方程的特性, 都是应用函数与方程思想时需要重点考虑的.

(3)方程问题可以转化为函数问题, 它涉及的知识点较多, 面也较广, 在概念性、应用性、理解性上都有一定的要求, 所以它是高考中考查的重点.

在学习中, 要做到熟练掌握基础知识, 充分理解各知识之间的内在联系, 要总结、归纳运用函数的观点和方法解决常见数学问题的解题规律. 在解题中, 充分、合理地运用函数与方程的思想方法, 会产生意想不到的效果.

下面为几类常见二次方程(ax +bx+c=0) 根的分布情况及需满足的条件(只讨论a>0的情况, a0的情况) .

2

【典例】 已知关于x 的二次方程x +2mx+2m+1=0, 求m 为何值时: (1)方程一个根在区间(-1,0) 内, 另一个根在区间(1,2)内; (2)方程的两个根均在区间(0,1)内. 解:设f (x ) =x+2mx+2m+1.

(1)函数f (x ) 的零点分别在区间(-1,0) 和(1,2)内, 由图①可知,

2

2

图①

图②

∴-

∴当-

(2)函数f (x ) 的两个零点均在区间(0,1)内, 由图②可知

,

∴-

∴当-


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