专题一 初中数学教学目标的设计

专题一 初中数学教学目标的设计

教学目标与教学指导

随着中国基础教育课程改革的深入,一个适合时代需要的全新教学正在形成和发展,几乎所有的数学教师都在接受新的教学理念,充分认识到数学课程应该突出基础性、普及性和发展性。数学教育应该面向全体学生,实现“人人都学有价值的数学,人人都能获得必需的数学,不同的人在数学上得到不同的发展。”数学教学活动已经不再是单纯的知识传授,而是由现实生活情境引入,并通过活泼生动的数学活动,激发学生学习的积极性,使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想方法、培养他们发现问题、分析问题、解决问题的能力。

课堂是传道、授业、解惑的地方,是智慧火花相互碰撞的场所,是实施课改的主要阵地。新的课程理念如何在课堂的教学过程中完美体现,教师如何真正地考虑到学生思维的发展等问题,已经成为亟待解决的问题。我们就此进行了一些探索、小结,选编了部分经典案例,并结合教材的内容给予了恰当的分析与点评。希望能帮一线教师解决些许教学中出现的问题。 初中数学教学目标的设计是网络课程的第一部分,它包括四个部分。

第一节让教师从整体上认识数学课程目标,使之理解“教”与“学”间的关系如何体现在数学课程目标中,理解义务教育阶段学生数学学习的四个数学知识领域——“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”在“三维”的角度对总体目标“四个领域”的具体内涵。

第二、三、四节选取了有代表性的案例,从“知识与技能”、“数学思考”、“解决问题”、“情感与态度”四个方面进行了详细的评述,使教师更加深刻的理解如何在课堂教学中实现这四个目标。其中,“知识与技能”目标与过去的教学大纲中仅仅呈现的结果性目标不同,在《标准》中首次被赋予了“过程”的含义,即必须让学生在数学学习活动中去“经历„„过程”;“过程性目标”不要让学生“知其然,不知其所以然”,也不要让学生经历、体验探索的过程,没有正确性的结论呈现。“情感态度价值观”这一目标度的把握至关重要。教学不仅要有情感、态度的体现,还要有数学价值观的渗透,让学生认识到现实生活与数学知识之间存在着紧密的联系。

第二节 知识性目标的内容及其设计 一.知识与技能性目标的内容

“知识与技能”向来是数学课程与数学教学的一个核心问题, 实施新数学课程后,数学中的基础知识与基本技能(简称“双基”)仍然是学生学习的重点。但需要重新思考的是:在当今这个科技信息社会中,新数学课程中的“双基”还是不是以往那种形式化、规范化的概念与定理、法则的表述和运用,以及快速、准确地从事复杂的数值计算、代数运算技能和多种类型、多种套路的解题技巧?学生还应不应该花费时间和精力去牢固掌握基础知识和基本技能?回答是肯定的,但是我们对“双基”的认识也要与时俱进,一些多年以来被看重的“基础知识”、“基本技能”已不再成为今天或者未来学生数学学习的重点。例如,大数目的数值计算、复杂的有理数混合运算与复杂的代数运算技巧、一些图形性质的证明技巧等。相反,一些以往未受关注的知识、技能或数学思维方法却应当成为学生必须掌握的“基础知识”、“基本技能”,即“双基”的内涵发生了变化。例如,使用计算器处理数据的技能,利用计算器进行有理数混合运算的技能,通过网络收集信息的技能,有关制作统计图表的技能,获取与处理统计数据并根据所得的结果进行推断的技能,对变化过程中变量之间变化规律的把握与运算的意识等,都应该成为新的“双基”内容。

二.知识与技能性目标的设计

如何在课堂教学中完成“知识与技能” 性目标的设计?下面我们来看一些具体的案例。

1.概念教学案例

〓 案例1-1:有趣的游戏——有理数的加减混合运算 〓

有理数的加减混合运算的知识技能目标

识记:有理数加减法法则.

理解:有理数加减法法则,省略加号、括号;变“减”为“加”;同号结合,建立初步的数感.

运用:能正确使用有理数加减法法则进行运算.

“有理数的加减混合运算” 是北师大版《数学》七年级上册第二章第六节的内容,是有理数学习中的传统内容。它既是对“有理数的加法”、“有理数的减法”的深入学习,又是熟练掌握有理数的乘法、除法、乘方及混合运算的前提条件。其具体的教学过程分为如下几个方面:首先通过扑克牌游戏引入有理数的加减运算;然后在运算的过程中总结出规律;最后通过变换游戏规则和变式来应用所学的知识。其具体教学过程如下:

〓教学过程〓

有理数的加减混合运算 1.ppt

师:我们用一副扑克牌来做一个游戏:其中J 代表11,Q 代表12,K 代表13 ,A 代表1; 黑色牌表示正数,红色牌表示负数,随机的抽取几张扑克牌,先依次记下各张扑克牌所表示的有理数,再在各个数之间添上加号或者减号和括号,然后迅速的计算出结果。

首先我们抽取两张牌,并添上加号和括号,即算加法;

现在我们抽取三张牌,并添上减号和括号,即算减法;

现在我们抽取四张牌,并算加法;

现在我们抽取四张牌,并算减法。

〓教学过程〓

有理数的加减混合运算 2.ppt

在游戏过程中,教师不断的启发学生想到了什么,发现了什么,得到了怎么样的规律。学生在轻松、愉乐的课堂环境中感悟到不同颜色、不同大小的扑克牌间存在着一定的运算规则;在合作、交流的基础上,认识逐渐得到提升,进而总结出以下规律:

师:通过以上游戏,你 发现了什么?有什么 想法?快把你算得又快又准的技巧或想法与其他 同伴交流、讨论吧!

师:别忘了,把你们的发现告诉我哟!如果能整理成简明的文字,就更好了。

规律一 省略加号、括号。即如果是加法,在书写计算式时,加号可以省略,同时括号也省略不写。即把式子写成省略加号、括号和的式子。

规律二 变“减”为“加”。即如果是减法,先把减法转变为加法运算,然后省略加号、括号再计算。 规律三 同号结合。即根据加法运算律,先把整数、负数分别结合在一起相加。

〓教学过程〓

有理数的加减混合运算 3.ppt

师:我们将游戏规则改为:红色牌、黑色牌仍分别表示负数、正数,抽到黑色牌则加上牌上的数字,抽到红色牌则减去牌上的数字。

师:实际上我们是在进行有理数的加减混合运算. 用前面的规律与同伴做这个游戏吧。

自己估计能得多少分:

1.把18–(+12)+(–9)–(–6)写成省略加号和的形式是( )

A .18–12–9–6 B .18–12–9+6

C .18+(–12)+(–9)+6 D .18+12–9–6

2.计算(–5)–(+3)+(–9)–(–7 )+0.5所得结果是( )

A .–10.5 B .–9.5 C .8.5 D .23.5

3.小明存折中有450元,取出80元,又存入150元后存款余额为( )

A .520元 B .680元 C .380元 D .220元

4.–43+(–18)–(–25)–(+16)

5.–32.74+18–20+32.74–.

6.–17–6+5–4+25–10分,共60分)

7.矿井下A 、B 、C 三处的标高分别是37.4米,–129.8米,问A 点比B 点高多少? B 点比C 点高多少? C 点比A 点高多少?(20分)

8.小明从离甲地西面2千米的A 地出发,向西走了6千米到达B 地,接着再向东走了10千米到达C 地,问小明这时在甲地的东面还是西面,距甲地多少千米? (20分)

[案例分析]

对于环节一,课的开始教师把有趣的扑克牌游戏引入课堂,展开了以学生自主学习为中心的教学,这极大的激发了学生学习的热情和积极性,活跃了课堂气氛,使传统、单一的有理数

加减混合运算法则的教学变得生动、活泼。有理数加法、减法的法则在游戏中反复运用,从而为有理数加减混合运算知识技能目标的实现奠定了坚实的基础。

在环节二中,对“知识与技能”目标的学习,不能单从是否记住或者掌握的层面来判断,其中很重要的一点是学生是否真正理解了这些知识或技能背后所隐含的数学意义。传统的“概念教学”对知识掌握主要集中在学生能否记住概念的定义,能否从给出的几个选项中选择出一个有关这个概念正确例子,或者在几个相近概念之间区别出符合条件的某个概念。新课程对“概念教学”远不仅于此。《课标》中对概念真正的理解意味着:学生能够自己举出一定数量的有关这一概念的正例和反例;能够在几个相近概念之间比较彼此的异同,并且认识到在这些差异上不同的概念所对应的不同解释;能够将概念从文字的表述转换成符号的、图像的、口头的描述或表示。

在课的最后,教师通过变式训练,即改变游戏规则,让学生进一步认识到扑克牌的加减运算实质上就是有理数的加减混合运算;通过适当的课堂练习加强、巩固有理数加减的运算法则。最终实现有理数加减混合运算的知识技能目标。

〓 案例1-2:生动的课件——有理数的乘法 〓

有理数的乘法的知识技能目标

识记:有理数乘法法则.

理解:有理数乘法法则,两个有理数相乘,积的符号和绝对值如何确定,建立初步的数感. 运用:能正确使用有理数乘法法则进行乘法运算.

[案例分析]

“有理数乘法”是继“有理数的加减混合运算”、“水位的变化”之后的又一个重要学习内容,在教科书的编排中,它有着承上启下的作用。在教学过程中,必须要解决3个难点:如何自然地引入带有负数的乘法;怎么样体现负负得正的合理性与必要性;怎么样说明有理数与1和0相乘的结果。

〓教学过程〓

有理数的乘法 片断一

该教师注重课堂引入,不受限于教科书中的问题情境,以多媒体动画的形式演示蜗牛爬行状况,并提出了以下四个问题:

(1)如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向右爬行,3分钟后它在什么位置?

(2)如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行,3分钟后它在什么位置?

(3)如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行,3分钟前它在什么位置?

(4)如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行,3分钟前它在什么位置?

学生从熟悉的正数乘法解决实际问题中感受到数学知识不是空洞、抽象、枯燥的;逐渐体验带负数乘法的探索过程;自然地加深了对引入负数必要性的认识。教师有效地突破了“有理数乘法”教学中第一个难关[5]。

为了达到“理解有理数乘法法则”的教学目标,教师尽而又提出“有理数包括正数、0、负数,两个有理数相乘,有哪几种情况”及“怎么样进行两个有理数的乘法运算”的问题。

有理数的乘法 片断二

教师对学生回答的问题进行总结、整理,最后得出了:

(1)两个数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘.

(2)任何数与0相乘,积仍为0.

说明:有理数相乘,先确定积的符号,再确定积的绝对值.

学生在教师创设的情境中不断探索,在连续的问题中不断建构并最终完成“有理数乘法法则”知识目标的学习。

有理数的乘法 片断三

课堂小结和思考是本设计的另一亮点。教师通过“本节课我们学习了哪些知识?你有哪些收获?”的提问,首先能够了解学生本节课掌握知识的大体情况;其次在梳理问题时使学生知识系统化;最后及时调整教学方法和进度。尽管这个环节如此重要,但仍未引起更多教师的重视。

[案例分析]

学生从熟悉的正数乘法解决实际问题中感受到数学知识不是空洞、抽象、枯燥的;逐渐体验带负数乘法的探索过程;自然地加深了对引入负数必要性的认识。教师有效地突破了“有理数乘法”教学中第一个难关[4]。

为了达到“理解有理数乘法法则”的教学目标,教师进而又提出第3个问题:有理数包括正数、0、负数,两个有理数相乘,有哪几种情况?怎么样进行两个有理数的乘法运算?并让学生进行概括、应用。在课的最后,教师让学生进行小结。通过问题“本节课我们学习了哪些知识?你有哪些收获?”的提问,首先能够了解学生本节课掌握知识的大体情况;其次在梳理问题时使学生知识系统化;最后及时调整教学方法和进度。尽管这个环节如此重要,但仍未引起更多教师的重视。

“有理数的加减混合运算”、“有理数的乘法”教学,在性质上都属于概念教学,实施起来却存在一定的困难。要想较好的达成《课标》中所述的知识技能目标,教师在教学设计上一定要深思熟虑,有所创新。概念教学一般有两种设计方案:

一是按照“概念-法则(定理)-应用”的程序设置。实际这上构成了“预备知识-基本定理-基本理论的应用”的单元教学结构形式。这样的教学枯燥乏味,教师在台上不停的讲,学生在台下拼命的记,下课以后离开笔记本,什么都不记得。

另一种是按照“情境-规律总结-应用”的程序设置。实际上这不仅让学生掌握了基础知识和应用技能,还加强了学生数学思维方法和创造能力的培养。在具体的情境中,学生从数学的角度提出问题、理解问题、体验问题解决,并感受到学习成功的喜悦,建立自信心,从而积极参与数学学习活动,激发强烈的求知欲。

2.知识应用过程教学案例

特别值得注意的是,《标准》中的“知识与技能”目标与过去的教学大纲中仅仅呈现的结果性目标不同,首次出现了过程性目标,在这里,“过程”被赋予了更为深刻的含义过程本身就是一个课程目标,即首先必须让学生在数学学习活动中去“经历„„过程”,这是学生进行数学学习活动,获得知识与技能的必要前提。

在我们以往的数学教学中,比较熟悉或者能够把握的都是知识与技能目标,因为它是一种教师和学生都“看得见、摸得着”的结果性目标,而过程性目标有一点“摸不着边”的感觉。经过了一段较长时间的活动,学生似乎没学到什么“实质性”的东西,只是在“操作、思考、交流”。例如对“平均数”、“中位数”、“众数”的掌握,不应仅停留在给定数据的“平均数”、“中位数”、“众数”的计算层面,更重要的是能根据实际问题选择恰当的统计量来描述数据,并作出正确的判断。

知识与技能性目标的教学中,过程真的如此重要吗?我们应当如何理解它的意义与重要性,如何处理学生掌握这些基本知识和基本技能及在新情境中的灵活运用之间的矛盾呢,北师大版《数学》八年级下册第五章第四节《方差》内容的教学案例或许能给以启示。

〓 案例1-3:丰富的情境——数据的波动:方差 〓

方差的知识技能目标

识记:刻画数据离散程度的三个统计量——极差、方差、标准差的意义及计算.

理解:三个度量的特点及能借助计算器求出相应的数值.

运用:从收集数据的过程中获取有用信息,并在具体问题情境中对数据尽可能清晰、有效地描述和分析,最终作出合理的决策.

为培养新人,孙教练要从甲、乙两名跨拦运动员中选取一名队员作为重点培养对象,假设你是教练,根据他们平时比赛成绩会选择哪史队员呢?表中是他们5次在相同情况下的比赛成

话音刚落,各小组就进入了积极的讨论中.

小组一:我们组选的是甲队员。因为甲队员在第四次的比赛中跑得最快,跑了14.43秒. 小组二:我们组是算了甲、乙两名队员的平均成绩,都是14.5秒。因为平均值一样,所以我们就要看哪名队员的成绩比较稳定一些。乙队员的成绩与平均值接近,所以应该选乙队员参加比赛.

小组三:我们认为暂时都不选. 因为甲、乙两队员的成绩目前都是一样的,没有办法看出两队员哪一个好,应该再做一次比试,进行一次综合性的评判。这样才能更好的选出哪个队员适合比赛.

三个小组的学生在经过激烈的讨论后都发表了各自的意见。每个小组都各有道理,使得同学们急切的想知道究竟谁才是真正的入选队员。在这个现实的情境当中,通过图示让学生直观地估计两名队员的成绩,并让他们初步体会“平均水平”相近时,两者的离散程度未必相同,从而顺理成章的引入刻画数据离散程度的量度:极差、方差。

师:怎样衡量一组数据的波动大小,进而了解它的稳定性. 把表中的数据描在图中,看看你有什么发现?

学:甲队员的成绩比较分散,它的波动比较大;乙队员的成绩比较集中,它的波动比较小。我觉得乙队员的成绩比甲队员的稳定.

师:大多数同学通过折线图正确的表示出甲、乙队员的成绩情况,并得出乙队员的成绩较甲的稳定. 如果两组数据差距不是很明显,那么看图得到的答案未必准确,我们能不能找到一个数量能描述出这组数据与平均值的差异,并能反应出其波动性的大小呢?

„„

生1: .

师:大家用计算器计算得出的结果是0. 正的偏差和负的偏差相互间抵消了,我们要想办法来解决这个问题.

生2: . (1)

师:除了加绝对值能够使偏差为正,还有什么办法呢?

„„

生:

师:(1)式在统计学中称为平均差;(2)式在统计学中称为方差. 描述一组数据波动大小用这些都可以,但两者间又有区别. 这节课我们来研究方差.

为了刻画一组数据波动的大小,可以采用多种方法. 统计学中常采用下面的做法:

设有n 个数据,„„, 各数据与它们平均数的差的平方分别是

, 我们用它们的平均数,即用

来衡量这给数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差,记作.

师:既然方差能够衡量数据波动大小,那么我们观察公式来考虑下面几个问题:

(1)数据比较分散时,方差值怎样?

(2)数据比较集中时,方差值怎样?

(3)方差大小与数据波动性大小有怎样的关系?

小组讨论、交流,交并做出相应的回答“

生3:数据分散时,方差大;数据集中时,方差小;方差小时,数据波动性小„„.

师:那么我们就得到了结论“方差越大,数据的波动越大,方差越小,数据的波动越小. ”

在经历了表示数据离散程度的几个量度的探索、学习之后,教师又向同学们提出了新的要求。

数据的波动:方差 片断

录像中,同学生列举了生活中丰富多彩的实例,有些用方差能够较好的体现数据波动的大小,为结果的判定提供一定的依据,但是有些却不适用。教师应强调“只有在两组数据的平均数相等或比较相近时,才用这些量度来比较两组数据的波动大小,否则要利用变异系数来比较。当然后者不必向学生讲解,更不可进行相关的考查”[6]。

[案例分析]

“知识与技能”目标教学已经从“只要结果,不要过程”的认识阶段上升到“注重在知识的形成过程(应用过程) 中学习知识”的阶段。“过程”主要是服务于知识的学习,对“过程”的把握有利于对应知识的理解和掌握。本案例中的教师对“方差”教学目标的达成把握得恰到好处,他让学生了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差,借助计算器求出相应的数值,并在具体问题情境中加以应用。

由此可见[7],“知识与技能”目标教学对第三学段学生已与第一、第二学段学生的要求不同。“数与代数”知识学习的重点是为了解相关概念的由来,理解相应运算的算理并能够熟练地进行运算,同时能够从事探索数量关系和变化规律的活动,并能够掌握有关的数学模型(代数式、方程、函数等) ;“空间与图形”知识学习的重点则是学习用不同的方法(操作、变换、作图、论证等) 研究与表达几何体(图形) 的有关性质和基本关系,掌握用平面直角坐标系表述物体位置关系的方法;“统计与概率”知识学习的重点是完整地经历数据的处理过程——收集、整理和分析数据,并根据分析结果作出推断,学会计算一些事件发生的概率的方法。

第三节 过程性目标的内容及其设计 一.过程性目标的内容

“过程性目标”在第一节做了详细的解释,它是“数学思考”、“解决问题”结合,它注重的是学生学习能力的培养,即发现问题、解决问题能力,数学推理能力、表达能力的培养。学生学习能力的提高必须建立在对数学认识的基础上,这不仅仅包括一些概念和技能,还包括调查和推理的方法,交流的手段以及对数学知识来龙去脉的理解。也就是说,学生在数学学习中需要经历探索、推测或猜想,以及运用有效的推理去解决有关数学问题的过程。在传

统的数学教学中,学生解决问题的策略性知识是与例题结合在一起的,对于具体的策略是如何帮助学生思考问题的却是很少教授,只有少数学生能通过反思来获得有关这方面的知识。

二.过程性目标的设计

我们的教学往往让学生去记忆现成的知识,有意无意地压缩了学生对学习知识、发现问题、解决问题的过程,造成学生“知其然,不知其所以然”。建构主义学习理论认为,数学学习不是一个被动的接受过程,而是一个主动的建构过程,即通过内部认识结构与周围环境之间的相互作用来建构真知。中学数学教学中有很多课例可为学生提供思考、探索知识的机会,以下给出几个优秀的案例供大家参考。

1.发现问题和解决问题的教学案例

〓 案例1-4:探索规律 〓

发现问题:与同伴交流,探索日历中所框的9个数中,中间数与余下的其他若干数的和的倍数关系是什么?

案例引入的目的是让学生体验“分类”处理问题的过程,在学习代数式表示数量关系的基础上,尝试用合并同类项、去括号等法则验证所得到的规律。

提出问题和解决问题:让学生思考,日历图的套色方框中的9个数与该方框正中间的数有什么关系?这些关系在任何一年任何一个月都成立吗?你有什么依据?这些问题对部分同学来说,存在一定的难度,但是,教师应该鼓励有兴趣的学生在课后继续解决。

根据学生回答问题、掌握知识的具体情况提出以下问题:日历图的套色方框中的9个数与该方框正中间的数有什么关系?这些关系在任何一年任何一个月都成立吗?你有什么依据?这些问题对部分同学来说,存在一定的难度,但是,教师应该鼓励有兴趣的学生在课后继续解决。

[案例分析]

本节的活动充分发挥学生的主体作用,利用日历创设的实际情境,激发学生的学习兴趣,使课堂充满生机。通过对数学内部和外部简单关系的探索,让学生在进行实际操作、收集、分析数据、表示规律,并用规律进行计算和推测的过程中,初步学会用字母与代数式表示事物之间的数量关系或变化规律;通过解决问题,发展符号感,增长学生对知识价值的认识,培养他们的创新意识、合作精神和实践能力。

2.数学推理能力的教学案例

〓 案例1-5:探索规律 〓

将一张长方形的纸对折可得到一条折痕继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行. 连续对折六次后,可以得到几条折痕?如果对折10次呢?对折n 次呢?

长期以来,中学数学教学一直强调教学的严谨性,过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理,使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。波利亚等数学教育家认为,演绎推理是确定的、可靠的;合情推理则带有一定的风险性,而在数学中合情推理的应用于与演绎推理一样广泛。《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”培养学生的推理思维习惯是形成数学直觉,发展数学思维,获得数学发现的基本素质,教师在教学中既要强调思维的严密性,结果的正确性,也要重视思维的直觉探索性和发现性,充分发挥课堂教学的作用,通过几何、数与代数、概率与统计、实践与综合应用等教学活动来训练:

第一,创设情境,引导学生观察。推理并非盲目的、漫无边际的胡乱猜想,它是以数学中某些已知事实为基础,通过选择恰当的复习结构材料创设情境,引导学生观察。欧拉曾说过:“数学这门学科,需要观察,还需要实验。”观察是人们认识客观世界的门户,观察可以调动学生的各种感官,在已有知识的基础上产生联想,通过观察还可以减少猜想的盲目性。同时,观察力也是人的一种重要能力,所以在教学中要给学生必要的时间和空间进行观察,培养良好的观察习惯,提高观察力。如下述例题:

按下图方式摆放餐桌和椅子:

(1)1张餐桌可坐6人,2张餐桌可坐 人.

(2)

现的,证明只是补充的手段。在数学教学中,正确地恰到好处地应用数学实验,也是当前实施素质教育的需要。著名的数学教育家波利亚曾指出:“数学有两个侧面,一方面是欧几里德式的严谨科学,从这方面看,数学像是一门系统的演绎科学;但是另一方面,在创造过程中的数学更像是一门实验性的归纳科学,”从这一点上讲,数学实验对激发学生的创新思维有着不可低估的作用。数学理论的抽象性,通常都有某种“直观”的想法为背景。作为教师,就应该通过实验,把这种直观的背景显现出来,帮助学生抓住其本质,了解它的变形和发展及其它问题的联系。数学实验是帮助学生理解和巩固数学知识的一种有效方法。学生在实验时要将课本知识与眼前现实结合起来,将实验中获得的感性认识,通过抽象思维得到对概念、定理的深入理解。

第三,仔细设计问题,激发学生猜想。数学猜想是数学研究中合情的推理,是数学证明的前提。只有对数学问题的猜想,才会激发学生解决问题的兴趣,启迪学生的创造思维,从而发现问题、解决问题。数学猜想是在已有数学知识和数学事实的基础上,对求知量及其规律做出的似真判断,是科学假说在数学的体现,它一旦得到论证便上升为数学理论。牛顿有一句名言:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”数学家通过“提出问题——分析问题——检验证明”,开拓新领域,创立新理论。在中学数学教学中,许多命题的发现、性质的得出、思路的形成和方法的创造,都可以通过数学猜想而得到。通过猜想不仅有利于学生牢固地掌握知识,也有利于培养他们的推理能力。

第四,利用类比探讨,加深知识理解。类比推理是思维过程中由特殊到特殊的推理,是合情推理的主要形式之一,类比是对知识进行理线串点的一种手法。对于相互有联系的命题进行类比分析,有利于学生对问题的更深层次的认识,更有利于学生对问题规律的探寻。以问题和条件,题型结构或题设结论为思维起点,应用类比的方法,分析其与已有的认知结构中具有的相似特征,然后猜想其解题思维上的类似之处,从而解决问题。

第五,利用数学归纳,巩固从特殊到一般的思维。归纳推理是思维过程中从特殊到一般的推理,也是合情推理的主要形式之一。勾股定理的发现都是应用归纳推理的典型例证。在学习运用归纳的过程中,学生才不断地体会到“分析”、“假设”、“结论”等多种数学环节。此外,用数学归纳法来证题,也有助于训练学生用数学符号表达自己的数学思想。

第六,利用演绎证明,揭露蕴涵性质。演绎推理又称论证推理,是思维过程中从一般到特殊的推理,其前提和结论间具有蕴涵关系,是必然性推理。它的每一步推理都是可靠的、无可置疑和终决的,因而可以用来肯定数学知识,建立严格的数学体系。把一般结果应用到特殊中,能为归纳、类比等得到的猜想加以证实,从而培养学生的推理能力。逻辑推理和合情推理是数学思维的两翼,两者相辅相成,互相补充,缺一不可。从功能上来看,逻辑推理是论证的手段,合情推理是“发现”的工具;从阶段上来看,合情推理是逻辑推理的前奏,逻辑推理是合情推理的升华;逻辑推理能力越强,合情推理就越活跃,推理结果也越可靠,因此也可以说逻辑推理是合情推理的基础。正如数学教育大师玻利亚所说:“我们靠论证推理来肯定我们的数学知识,而靠合情推理来为我们的猜想提供依据。”演绎法被广泛用来建立定理命题和证明推论的正确性,先前已证明的结论、事先做出的假设或设定的概念等都可以直接用来推证新的结论。应当指出培养学生的演绎推理能力不仅要注意层次性,而且要关注学生的差异性。如“用火柴棒按下图方式搭三角形”的第二问,并不是每个学生在教师的引导下都能够总结出规律的。

用火柴棒按下图方式搭三角形:

(1)

(2)要使每一个学生都能体会证明的必要性,从而使学习演绎推理成为学生的自觉要求,克服“为了证明而证明的盲目性;又要注意推理论证‘量’的控制,以及要求的有序、适度”。

第四节 情感态度性目标的内容及其设计

《标准》中设立了“情感与态度”目标,明确提出通过数学学习让学生在情感、态度价值观等方面也能得到充分发展,并强调指出“情感与态度”不是数学知识教学的“副产品”,而其本身就是数学教学的重要目标。在数学教学过程中,学生的情感、态度、价值观等方面的发展并不是在学到一些具体的概念、法则、公式以后就能自然形成的,它贯穿于整个数学教学活动过程之中,它的实现需要长期地月累。一旦形成,将使学生受益无穷。

《标准》对数学课程中的“情感与态度”目标的内涵进行了具体的阐述[8]:

1.能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲

现代数学论认为:数学源于生活,又运用于生活,生活中充满数学,数学教育寓于生活实际。有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系,借助学生熟悉的生活实际中的具体事例,激发学生学习数学的求知欲,能够帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识,并运用所学的数学知识去解决实际生活中的数学问题。因此,好奇心、求知欲是学生学习数学的原动力。如果一个学生丧失了学习数学的兴趣,他就有可能厌倦,甚至放弃数学学习。数学教学主要可以从以下两个方面来激发学生的好奇心与求知欲:

一是在数学教学的课堂活动具有多样性及趣味性。

〓 案例1-6:一次函数图像的应用 〓

师:今天我们学习的新课内容是一次函数图像的应用。同学们都很喜欢运动,这几张图片都是些什么运动呢?

生:足球。

师:中国男足在世界上的排名是怎么样的呢?这有一张,我想就一目了然了。人们总对自己的智力发展非常关注,由这张智商与年龄的走势曲线图我们是不是可以发现很多信息。哪个年龄阶段人的智商最高?

生:17岁。

师:哪个年龄阶段是增长最快的?

生:11到17岁。

师:上述数据广泛出现在我们的生活中,渗透到我们生活中的每个角落。在这些图表、图像中蕴涵了丰富的信息。从纷繁的信息中捕捉收集、加工处理所需的信息,是新世纪对我们每一个同学提出的基本要求。那么,本节课咱们就学习一次函数图像的应用。

[案例分析]

实践表明教师在教学中渗透数学的社会性,寻找教材与现实生活的联系,使得数学内容变成富有现实性、生动性,有助于激发学生的积极性。只有基于学生生活经验的学习,才能带来学生更大的学习热情。诚然,这些能引起学生的数学学习兴趣,但是这种兴趣只是表面的、浅层次的,并且随着学生年龄的增长逐渐消失。教师要想学生积极参与数学学习活动,保持对数学的好奇心和求知欲还要通过以下途径,即通过展示数学自身的无穷魅力来促使学生愿意亲近数学、了解数学、谈论数学、学习数学。

〓 案例1-7:简单的图案设计〓

首先老师向同学们展示了一幅幅的图案:

考考你的眼力

有一群躲躲闪闪的隐形人。他们把身体藏起来不让人看见,只肯半遮半掩在下图中露出一条腿来。数数看,在图中共能看到多少条腿?

这些图案迅速唤起了学生的注意,从内心感受到这些图案的神秘,有效地激发了他们的求知欲——“这些美丽的图案是怎么样画出来的”?“这些图案里的奥妙是什么”?

其次,充分利用动画的优势,将静态的图案动态化,在动态的演示中,让学生感受图形的平移,从而自然引入对图形平移的继续探索学习。正如布鲁纳所说:“学习的最好刺激,就是对学习材料的兴趣。”

[案例分析]

本节教材的教学目标有三个,一是让学生体会平移的方法,二是让学生会利用平移的方法设计图形,三是让学生在参与活动的过程中,发现数学学习的趣味性。三个目标的实现,都需要让学生在操作中体验探索。本节课的老师考虑到学生的认知发展水平和已有的知识经验,在教学中充分放手,自主操作探索,加深了他们对数学知识的理解。由于放得恰当,操作充分,教师的“引”与学生的“探”有机结合,整个教学过程生动活泼,富有个性。

〓 案例1-8:实际问题与反比例函数 〓

师:今天早晨在吃早点的时候,我想打开筒盖,但是未能如愿。你们有办法吗?

生:把它撬开。

师:说到这个,我为同学们准备了改锥,一只长一点,一只短一点,都可以完成此任务。如果让你们选的话,会选择哪一只呢?

生:长的。

师:为什么呢?

师1:撬开盖子的力量是不变的,用长改锥的力量比较小。

师:从物理学的角度我们可以看得出来,能否从数学的角度来解释这样一个规律呢?咱们今天就进行具体的探讨。这就是我们这节课的主要内容:实际问题与反比例函数。

[案例分析]

如何去把握情感态度目标中“对数学有好奇心和求知欲”的教学,我们认为要注意以下两点:

* 联系实际取材,让学生欣赏数学美

教学当中,无论是对本课情境中取自于现实生活的图案的研究学习,还是课后的练习都让学生感受到数学源于生活,用于生活,这样学生才能感觉得到数学就在自己身边,是有源之水,有本之木。当学生意识到数学存在于现实生活中,并且将数学与生活联系起来,才能体会到数学的应用价值,学生学习数学的积极性才能真正被激发,数学学习的意义才能真正体现。 * 多种教学手段巧妙运用,相得益彰

将课本、黑板、电脑等多种媒体有机结合,巧妙地应用于教学全过程。操作作为一个主旋律萦绕于本节课的教学之中;在交流时,平移的方法——抓住一条边、几个点,进行平移,也就是刚体变换的方法又利用计算机在重点处闪现,给学生一个直观的感受,这比用语言描述要直观得多、简捷得多;图案的美、平移方法的引入也是充分利用计算机展示。每一种教学手段运用得恰如其分,才能有效地突破教学重难点,达成教学目标。

2.在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心

在以往的数学教学中,关于“克服困难的自信心、意志力”的培养,存在一些片面的认识。我们更多强调的是数学学习的艰苦性,认为在数学学习过程中唯有通过人为地给学生制造解题中的困难与障碍,才能培养他们克服困难的自信心、意志力,如数学练习中人为的编造了不少繁、难、偏、怪的问题。理论与实践证明,许多学生在这样的学习过程中认为“数学学习是一种痛苦”,对数学学习丧失了信心,更谈不上具备克服学习过程中遇到困难的意志力。 在培养学生“克服困难的自信心、意志力”方面,我们应当向学生提供具有挑战性的问题,使他们有机会经历确困难的活动;让他们在从事这些活动的过程中有获得或是解决了相关问题,或是找到了解决问题的有效思路,或是得到了对问题进一步理解的成功体验。

〓 案例1-9:一次函数图像的应用 〓

例3 柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千克) ,与工作时间t(小时) 成一次函数关系。当工作开始时油箱中有油40千克,工作1小时后,油箱中余油35千克。

(1) 写出余油量Q 与时间t 的函数关系式;

(2)如何根据解析式画出本函数的图像?

生1:Q=40-5t

师:这位女生有什么不同意见?

生2:我觉得t ≤S 。

师:为什么呢?

生3:因为油箱中最多有40千克油,最多用8个小时。

师:两位同学非常好,这涉及到一次函数的应用。能不能根据解析式,画出本函数的图像?回忆一下,画函数图像有几个步骤?

生:列表、描点、连线。

师:如果是你,你会选择哪两个点描呢?

生:与y 轴的交点(0,40),与x 轴的交点(8,0)。

师:这个函数图像是一个包含两端点的线段,我们通过实际应用列出了函数解析式,然后画出图像。如果反过来,给你函数图像,你能从图像中收获什么信息?

例4 某种摩托车油箱最多可储油10升,装满油后,油箱中的剩余油量y (升) 与摩托车行驶路程x (千米) 之间的关系如图所示:

师:从左图中,你能发现什么?

生4:这个油箱可供摩托车行驶500千米。它的图像到了500千米的时候是0升。

生5:行驶路程x 是自变量,而剩余油量y 是因变量。

师:根据图像回答下列问题:

1.一箱汽油可供摩托车行驶多少千米?

2.摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油?

3.油箱中的剩余油量小于1升时,摩托车自动报警。行驶多少千米后,摩托车将自动报警? 生:1.可供行驶500千米。2.消耗2升汽油。

师:你们是怎么得出2升的呢?

生6:我是在x 轴上找到100,这个点对应上去的纵坐标是8,总油量是10,所以10-8=2升。 师:有没有第二种方法?难道我们都用这位同学的方法吗?当摩托车行驶200千米时,用了4升,那么100千米就用了2升。当摩托车行驶300、400时都可以用这种方法解决。 生:3.行驶450千米是摩托车自动报警。

生7:从函数图像上看,当摩托车行驶500千米时,油箱中没有油料,那么当当摩托车行驶450千米时,油箱中就剩1升油料。

师:我们可以通过横坐标→描点→求出纵坐标,也可以通过纵坐标→描点→求出横坐标。这样我们就会识图了。

[案例分析]

数学学习的过程是一种艰苦的脑力劳动,当学生在教师的指导下,经过自己的努力探索,无论是加深了对某个定理的理解,还是解决一道难题或是新颖巧妙的解法,往往激动不已,充满成功的幸福情感。数学的学习过程需要同学之间互相帮助,团结协作,使学生体验到温暖、友情。所以,教师在教学中介绍新的数学知识与设计应用所学知识解决问题的情境时,不是照本宣科,应当尽可能提供一种分层递进的“阶梯”式的问题串,从最基础的问题开始,逐步递进。这既适合学生的心理特点,又符合学生的认知水平的。每一个学生都能够在活动中既有成功的体验,也有面临挑战的机会与经历,从而锻炼他们克服困难的意志,建立学好数学的自信心。

3.初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性

数学的发展对社会和科技的进步产生了巨大的推动作用,让学生了解这一点,有助于学生对数学的价值有较全面的认识,也会激发学生学习数学的欲望。

为此,在数学课堂教学中,教师要适时向学生介绍有关的数学史实,如著名数学家的事迹、经典事例与故事、数学名著等,让学生“初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性”。 〓 案例1-10:简单的图案设计 〓

八年级上: 简单的图案设计 片断

〓 案例1-11:探索勾股定理 〓

八年级上:探索勾股定理 片断

勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴涵了丰富的文化价值,古代有很多国家和民族都对勾股定理有不同程度的认识和了解,我国是最早了解勾股定理的国家之一。教师应充分利用教科书中的素材、网络上的资料引导学生体会现实世界中蕴涵着丰富的数学信息。

[案例分析]

中学生学习数学的动机受感情支配的比较大,如果教师掌握好情感的分寸,将情感因素及其对学生的心理影响与备教材、备学生、备教法结合起来考虑,尽量以生动活泼的形式教学,使数学教学适合学生年龄特点及认识能力,充分调动初中数学教学过程中所有的情感因素,强化学生学习数学的动机,达到学习的最高效率。同时,还应考虑到不同学段学生的年龄特征与知识背景,分别选用数学人物介绍、趣味数学故事、数学典故、数学应用介绍、数学问题求解等形式来引起学生学习数学的兴趣。

4.形成实事求是态度以及进行质疑和独立思考的习惯

基本的思维能力、科学态度、理性的精神是未来公民生存与发展所需的最基本、最重要的素质。这些素质的形成需要学生有实事求是的态度,善于质疑,并具有独立思考的习惯。 〓 案例1-12:平行四边形的判定 〓

平行四边形的判定:判定定理二的猜想

平行四边形的判定:平行四边形的其它判定方法

平行四边行性质的学习对学生来说,是一个全新的数学知识,教师应当鼓励他们采用探索的方法经历由已知出发,经过自己的努力或与同伴合作,获得对新知识的理解,而不采用“告诉”的方式;当学生面临一个困难时,引导他们或和他们一起寻找解决问题的思路,并在解决问题的过程中总结所获得经验,而不是直接给出解决问题的方法;当学生对自己或同伴所得到的“数学猜想”没有把握时,要求并帮助他们为“猜想”寻求证据,根据实际情况修正猜想,而不是直接肯定否定他们的猜想;当学生对他人(包括教科书、教师、同伴)的思路、方法有疑问时,应鼓励他们对自己的怀疑寻求证据,以否定或修正他人的结论作为思维目标,从事研究性活动。

[案例分析]

数学学科知识的特点使数学教育具有这种培养功能,它对学生这些素质的民展负有重要的职责。对这些素质的发展不需要在数学教学中划出特定的课时去专门讲授,或是时时处处提及他们,因为数学学习本身就需要学生有“实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯”,即使质疑被否定,教师也应当首先对其遵循事实、敢于挑战“权威”的意识给予充分的肯定。,在数学教学中创造更多的方法与机会促进这一目标的实现。

中学生学习数学的动机受感情支配的比较大,如果教师掌握好情感的分寸,将情感因素及其对学生的心理影响与教材、学生、教法结合起来考虑,尽量以生动活泼的形式教学,使数学教学适合学生年龄特点及认识能力,充分调动初中数学教学过程中所有的情感因素,强化学生学习数学的动机,就能达到数学学习的最高效率。


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