相交立体相贯线解析求法

第30卷 第5期四川兵工学报2009年5月

相交立体相贯线解析求法

杨 刚, 刘喜平

a

b

(陕西理工学院a. 计算机系; b. 土建系, 陕西汉中 723000)

X

摘要:介绍了绘制相贯线的两种方法:图解法和解析法, 给出了几个典型相贯体相贯线的具体解析求法和两回转体的某些相贯线是平面曲线的特殊情况, 最后总结了若干特殊相贯线的性质. 关键词:正交; 相贯线; 曲线方程; 解析法中图分类号:TB237文献标识码:A 文章编号:1006-0707(2009) 05-0016-03 一般构件都可分解为由若干个几何体所组成. 两相交的几何体称为相贯体, 它们表面的交线称为相贯线. 画图时, 正确地画出相贯线, 能清楚地区分立体表面的界限, 有助于理解构件的三维空间结构.

消去y 则得到交线在V 面上的投影的曲线方程. 如果两个曲面方程是建立在不同的坐标系中时, 则可以通过坐标变换来解. 当得到相贯线在某平面上的投影曲线方程后, 给定一个变量的值便可以求得另一个变量的值, 从而可以由取点法绘制出此曲线. 本文中着重讨论用解析的方法来求相贯线.

1 绘制相贯线的两种方法

由于组成相贯体的各立体的几何形状、大小和相对位置不同, 相贯线也表现为不同的形式. 一般来说, 两曲面立体的相贯线为空间曲线. 但任何两个立体的相贯线都是两立体表面的共有线, 所以相贯线是由两立体表面的公共点所组成的. 通常需要求出两立体表面上一系列的公共点, 才能作出相贯线. 可以由下列两种方法绘制相贯线. 1. 1 图解法

为了求得相贯线上的点, 就必须根据两曲面立体的性质及其相对位置, 适当地选择辅助面求出其共有点.

为了便于作图, 辅助面的选择原则为[1]:辅助面与两立体表面相交都能获得最简单的交线, 即尽可能使辅助面与立体表面的交线至少有一个投影为直线或圆. 求相贯线的基本方法可以归结为选择合适的辅助面截切两几何体, 求出辅助面与两几何体表面的三面共有点即为相贯线上的点. 在具体作图时, 应该注意选择恰当的辅助面, 以便求出相贯线上的特殊点(如最高、最低点, 可见性分界点等) , 而使所求相贯线的投影更为准确.

1. 2 解析法

若两曲面方程F (x , y , z ) =0及G(x , y , z ) =0都通过某曲线, 而且另外再没有公共点, 则联立方程的解, 就表示这条曲线. 方程表达式如下:

F(x , y , z ) =0G(x , y , z ) =0

它既满足F (x , y , z ) =0, 又满足G(x , y , z ) =0. 因此, 这样的解作为点的坐标时, 这个点就同时在F (x , y , z ) =0和G (x , y , z ) =0所表示的曲面上, 即在它们的交线上.

如果消去z 则得到交线在H 面上的投影的曲线方程,

2 几个典型相贯体相贯线的解析求法

下面讨论几个典型的相交立体相贯线的解析求法. 2. 1 两圆柱偏交的相贯线

设两圆柱的轴线不相交, 但它们相互垂直. 设两轴线之间的距离为d , 圆柱Ñ的半径为r , 圆柱Ò的半径为R (如图1). 现在取圆柱Ñ的轴线为X 轴, 两圆柱轴线的公垂线为Y 轴, 过X 轴与Y 轴的交点且平行于圆柱Ò的轴线的直线为Z 轴.

在坐标轴O-XYZ 中, 圆柱Ñ的方程为式(1) , 取圆柱Ò的轴线为Z

1轴, Z 1轴与Y 轴的交点记为O 1. 把过O 1且平行于X 轴的直线取为

图1 两圆柱偏交

X 1轴, Y 1轴与Y 轴重合, 这样又建立了一个坐标系O 1-X 1Y 1Z 1. 在这个坐标系中两圆柱偏交, 圆柱Ò的方程为

X 收稿日期:2009-02-26

作者简介:杨刚(1973) ) , 男, 陕西洋县人, 硕士研究生, 讲师, 主要从事计算机图形学及辅助设计研究.

杨 刚, 等:相交立体相贯线解析求法

式(2) .

y =r cos

设Z 1和Z 的间距为d , 坐标系O-XYZ 和O 1-X 1Y 1Z 1之间的坐标变换公式为式(3) , 于是就得到圆柱Ò在坐标系O-XYZ 中的方程为式(4).

x =x 1

y =y 1-d z =z 1x =R cos

(4)

z =z

圆柱Ñ和圆柱Ò的交线必须满足式(5) , 如果只考虑两条交线中的一条, 就是上面公式中只取正号的那一条, 那么把这公式代入圆柱Ñ或圆柱Ò的方程中, 便得到交线的方程为式(6) . 给出

注:以上公式中各角度的取值范围为[0, 2P ]. r cos

r cos

sin

R 1

cos

R -(r cos

6) (5) (3) (2) (1)

x =u cos t y =u sin t

z =u

a

x =d +R cos H y =R sin H

c z =sin a 它的相贯线的投影如下:

1) 正投影为一个抛物线, 如式(10) :

x =d +R cos H y =0z =-a

2

17

(8)

(9)

sin (10)

c 2

z =[2dx +(R 2-d 2) ]

a

2) 水平投影为圆, 如式(11) :

x =d +R cos H y =R sin H z =0

或 (x -d) 2+y 2=R 2

3) 侧面投影为四次曲线, 如式(12) :

x =0

y =R sin H z =-a

R +d +2dR cos H

(11)

[a 2z 2-c 2(R 2+d 2) ]2-4d 2c 2(R 2-y 2) =02. 3 圆柱三通管的相贯线[2]

(12)

y =r cos

2. 2 轴线平行的圆柱交圆锥的相贯线

如图3所示为两轴相交成A 角的具有任意直径的圆柱三通管的主视图, 设两圆管的管壁厚度均为t, 水平圆管的外径为D 1, 斜圆管的外径为D 2, O 点距水平圆管左、右端之距分别为L 1、L 2, O 点距斜圆管上端的距离为L 3, 分别建立两个坐标系O-XYZ 和O 1-X 1Y 1Z 1, 则斜圆管外管面的参数方程为式(13) ; 水平圆管外管面的参数方程[3]为式(14).

如图2, 设圆柱和圆锥两轴线的距离为d, 圆柱的参数

方程为式(7) , 圆锥的参数方程为式(8) , 其中H 、u 、t 为参数. 联立解得相贯线参数方程为式(9).

图2 圆柱与圆锥的相贯

H

(7图3 圆柱三通管的主视图

cos B B

(13)

18

y =0. 5D 1cos C z =0. 5D 1sin C

四川兵工学报

(14)

球面, 相贯线仍为两椭圆, 不过大小不等, 其正面投影为直线段a c b c 及c c d c , 如图4b) .

3) 当圆锥与圆柱轴线正交时, 若两者同时外切一球, 则相贯线也是两椭圆, 其正面投影为两线段, 水平投影为两相交的椭圆[5].

1) 在O-XYZ 坐标系中, 水平圆管的外管面交线方程可以写成式(15) :

y =0. 5D 1cos C z =0. 5D 1sin C

x =(0. 5D 2cos B +z cos A ) /sin A 其中各参数的取值范围为式(16) :

-1

C 1[C [C 2, C 1=cos (D 2/D 1) ,

C 2=cos -1(-D 2/D 1) 0[B [2P ,

D 2sin B =D 1cos C , 0

水平圆管的外管面交线方程在主视图中的投影的曲线方程为式(17) ; 水平圆管的外管面交线方程在俯视图中的投影的曲线方程为式(18) ;

z =0. 5D 1sin C

x =(0. 5D 2cos B +z cos A ) /sin A y =0. 5D 1cos C

x =(0. 5D 2cos B +0. 5D 1sin C cos A ) /sin A

(16) (15)

(17) (18)

图4 特殊的相贯线

4) 当圆锥与圆柱轴线斜交时, 且外切于一球面, 则相

贯线也是两相交的椭圆, 其正面投影为两段直线, 其水平投影积聚为一圆[6].

5) 当两个二次回转曲面的轴线相交且平行于V 面时, 又外切于一球面, 则其相贯线是平面曲线(椭圆) , 其V 面投影为两线段.

2) 同理可得, 在O-XYZ 坐标系中, 水平圆管的内管面交线方程可以写成式(19) :

y =0. 5(D 1-2t ) cos C

z =0. 5(D 1-2t ) sin C

x =[0. 5(D 2-2t) cos B +z cos A ]/sin A :

C 3[C [C 4,

C 3=cos -1[(D 2-2t ) /(D 1-2t) ], C 4=cos -1[-(D 2-2t ) /(D 1-2t) ]0[B [2P ,

(D 2-2t) sin B =(D 1-2t ) cos C , 0

水平圆管的内管面交线方程在主视图和俯视图中的投影的曲线方程可以仿照方法1) 中的求法求出, 此处略去.

(19)

4 结束语

本文中给出了几个典型的相交立体相贯线的解析求法及相贯线的两种特殊情况, 并且对一些特殊相贯线的性质进行了归纳总结, 这些结论对手工绘图、计算机绘图及一些钣金下料都有一定的实际意义.

3 特殊情况下的相贯线

在一般情况下, 两回转体的相贯线是空间曲线. 但是, 在一些特殊情况下, 也可能是平面曲线或直线. ¹共轴线的两旋转体相交, 其相贯线是垂直于轴线的圆. 当轴线平行某一投影面时, 则圆在该投影面上的投影成为直线段. º当两个二次曲面外切或内切于第三个二次曲面时, 则相贯线为平面曲线. 图4所列举的各图例(仅画出了相贯体的主视图和俯视图) 中两回转体轴线相交, 且同切于一球面, 是最常见的情况. 而掌握下列一些特殊情况, 尤为必要, 这些特殊情况的相贯线可直接画出.

1) 当两直径相同的圆柱轴线正交[4]时, 两者必外切于一球面, 其相贯线为两个大小相等

的椭圆. 其正面投影为两段直线a c b c 和c c d c , 水平投影与直立圆柱的水平投影重合, 如图4a) .

, 参考文献:

[1] 同济大学、上海交大等院校5机械制图6编写组. 机械

制图[M].北京:高等教育出版社, 2002.

[2] 杨刚. 基于AutoCAD 的钣金构件参数化绘图系统[J]. 陕西理工学院学报:自然科学版, 2005, 21(4) :1-2. [3] 孟宪铎. 解析画法几何[M ].北京:机械工业出版社,

1984.

[4] 崔荣泉, 杨泮池. 工科线性代数[M ]. 西安:陕西科学技术出版社, 2003.

[5] 杨培中. 工程图学中常见问题剖析[J]. 江苏大学学

报:自然科学版, 2006, 27(5A) :45-48. [6] 谷艳华, 侯洪生, 杨得军, 等. 轴线相交的柱椎曲面交

于平面曲线的理论探索[J]. 工程图学学报, 2006(4) :127-128.


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