第2节求椭圆的标准方程

第2节

【基础知识】1.椭圆的标准方程:(1)焦点在轴,

求椭圆的标准方程

(2)焦点在轴,.

2.满足条件:

【规律技巧】1.求椭圆标准方程的方法

求椭圆的标准方程,除了直接根据定义外,常用待定系数法(先定性,后定型,再定参).当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设方程为

,可以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为

>0且A≠B),这种形式在解题中更简便.

2.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏,要深刻理解椭圆中的几何量

等之间的关系,并能熟练地应用.

(A>0,B

【椭圆方程的几种常见求法】

对于求椭圆方程的问题,通常有以下常见方法:一、定义法例1已知两圆C1:

,C2:

,动圆在圆C1内部且

和圆C1相内切,和圆C2相外切,求动圆圆心的轨迹方程.

分析:动圆满足的条件为:①与圆C1相内切;②与圆C2相外切.依据两圆相切的充要条件建立关系式.

解:设动圆圆心M(,

∴∴

),半径为,如图所示,由题意动圆M内切于圆C1,

,圆M外切于圆C2,

y

C2O

C1

x

∴且

动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,

故所求轨迹方程为:.

评注:利用圆锥曲线的定义解题,是解决轨迹问题的基本方法之一.此题先根据平面几何知识,列出外切的条件,内切的条件,可发现利用动圆的半径过度,恰好符合椭圆的定义.从而转化问题形式,抓住本质,充分利用椭圆的定义是解题的关键.

二、待定系数法

例2已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点

求该椭圆的方程.

分析:已知两点,椭圆标准方程的形式不确定,我们可以设椭圆方程的一般形式:

=1(

解:设所求的椭圆方程为∵椭圆经过两点

,进行求解,避免讨论。

=1(

∴解得,故所求的椭圆标准方程为.

评注:求椭圆标准方程,可以根据焦点位置设出椭圆标准方程,用待定系数法求出的值:若焦点位置不确定,可利用椭圆一般形式简化解题过程.

三、直接法

例3

设动直线垂直于轴,且交椭圆

于A、B两点,P是上线段

AB外一点,且满足,求点P的轨迹方程.

分析:如何利用点P的坐标与椭圆上A,B两点坐标的关系,是求点P的轨迹的关键,因直线垂直于轴,所以P、A、B三点的横坐标相同,由A、B在椭圆上,所以A、B两点的纵坐标互为相反数,因此,紧紧抓住等式

解:设P(,

),A(

),B(

即可求解.,

由题意:=∴∴

=(

=,-

,+=0

,∵P在椭圆外,∴

同号,

)(-)=

,即为所求.

评注:求轨迹方程,首先要找出动点与已知点之间的关系,建立一个等式,用坐标代换.四、相关点法例4

的底边BC=16,AC和AB两边上的中线长之和为30,求此三角形重心

G和定点A的轨迹方程.

分析:由题意可知G到B、C两点的距离之和为定值,故可用定义法求解,A点和G点的关系式好建立,故可用相关点法去求.

解(1)以BC边所在直线为轴,BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系,

设G(,

),由

,知G点的轨迹是以B、C为焦点,

长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点,方程为.

(2)设A(,),G(,则由(1)知G的轨迹方程是

∵G为的重心∴代入得:

其轨迹是中心为原点,焦点在轴上的椭圆,除去长轴上的两个端点.

评注:本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的,要注意各自的特点,另要注意轨迹与轨迹方程的不同.

【专项训练】1、

,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是

.

2、椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,椭圆的标准方程是

;;

3、轴是短轴的2倍,且椭圆经过点(4,0),椭圆的标准方程是4、长轴是短轴的2倍,且椭圆经过点(-2,-4),椭圆的标准方程是5、一个焦点为(2,0),经过点(-3,0);椭圆的标准方程是

6、过点A(-1,-2)且与椭圆的焦点相同的椭圆标准方程是______.

7、椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为

8、过点P(,-2),Q(-2,1)两点的椭圆标准方程是______.

9、椭圆的一个顶点和一个焦点在直线x+3y-6=0上,则此椭圆的标准方程是______.◆以下各题与准线相关

1、长轴是短轴的2倍,一条准线方程是

,椭圆的标准方程是

2、离心率为,一条准线方程为,椭圆的标准方程是;

3、长轴在x轴上,一条准线方程是,离心率为,椭圆的标准方程是;

4、椭圆的焦点F1(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是______.5、椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,两准线间距离等于36,椭圆上一点到两焦点的距离分别是9,15时,则此椭圆的方程是______.

历年高考题中相关试题

(-6,0)、

(6,0),求以

为焦点

1、(2006年江苏卷)已知三点P(5,2)、

且过点P的椭圆的标准方程;2、(08辽宁卷20)在直角坐标系4,设点P的轨迹为

中,点P到两点,的距离之和等于

,写出C的方程;

过点

,焦点为

,求

3、(08安徽卷理)椭圆椭圆

的方程;

4、(08福建理21)椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.,椭

圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;5、已知椭圆的中心在原点,一个焦点是

,且两条准线间的距离为

,求椭1、

(08安徽22)设椭圆求椭圆

的方程;

其相应于焦点的准线方程为,

6、(四川卷文22)设椭圆的左右焦点分别为,离心率,

点到右准线为的距离为

,求到的距离

的值;

,所以由题设得

【解】:因为

解得

由,得

:的方程;

的右顶点为

,过

的焦

7、.(2009浙江理)已知椭圆点且垂直长轴的弦长为.求椭圆

解析:(I)由题意得所求的椭圆方程为,

8、(2009山东卷理)设椭圆E:为坐标原点,求椭圆E的方程;解:(1)因为椭圆E:

(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,O

(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,

所以解得所以椭圆E的方程为

9、(2009全国卷Ⅱ文)

已知椭圆C:的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B

两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为

,(Ⅰ)求a,b的值;

解:(Ⅰ)设

当的斜率为1时,其方程为

到的距离为

故,

得,=

10、.(2009安徽卷文)(本小题满分12分)

已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的

圆与直线y=x+2相切,求a与b;【解析】(1)由于

b=2,a=3因此,

22

.

圆的方程(答案:)

11、(2009湖南卷文)已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个

端点,为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q),求椭圆C的方程;

解:(Ⅰ)依题意,设椭圆C的方程为

焦距为

由题设条件知,所以

故椭圆C的方程为

12、(2009辽宁卷文)已知,椭圆C以过点A(1,椭圆C的方程;

),两个焦点为(-1,0)(1,0),求

(22)解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为。

因为A在椭圆上,所以,解得=3,=(舍去)。

所以椭圆方程为.

13、.(2009宁夏海南卷理)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在s轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.,求椭圆C的方程;解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为,由已知得

所以椭圆的标准方程为

14、(2009四川卷文)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心

率,右准线方程为,求椭圆的标准方程;

【解析】(I)由已知得,解得

∴所求椭圆的方程为…………………………………4分

第八章专项训练(2)求椭圆的离心率

1、的离心率为;

2、椭圆的长轴是短轴的2倍,则离心率为3、已知正方形ABCD,经过A,B的椭圆经过C,D,该椭圆的离心率为

4、椭圆的中心、2

个焦点恰好将椭圆的长轴四等分,则椭圆的离心率为5、设椭圆两个焦点为

角三角形,则离心率为

,过

做椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若

;为等腰直

8.若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份,则椭圆的离心率等于(A.

B.

C.

D.

15.(2009江西卷理)过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点

,为右焦点,若,则椭圆的离心率为

A.答案:B

B.C.D.

15、(湖南文9)设分别是椭圆的左、右焦点,P是其右准线

上纵坐标为(为半焦距)的点,且,则椭圆的离心率是

A.【答案】D

B.C.D.

【解析】由已知P(),所以化简得

90、(理)(08全国1理)在椭圆经过点答案:

.设,

,则该椭圆的离心率

中,,.

则.

.若以为焦点的

(08全国1文)1、在点

,则该椭圆的离心率

中,

,.若以为焦点的椭圆经过

17.(2009天津卷文)(本小题满分14分)已知椭圆

)的两个焦点分别为

,过点

的直线与椭圆相交于点A,B两点,且

【解析】(1)解:由

,得

,求椭圆的离心

,从而

,整理得,故离心率


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