第五讲充要条件概念

第五讲 充要条件概念

【知识概要】

【例题及习题】

充要条件是高中数学的重要概念之一,数学思维的推证,总要从它开始.(反思:充要条件是逻辑用语,如何理解条件与 结论的相对性,教材安排的意图是什么)

一、 判断条件P与结论q的关系

1. 1应用充要条件的定义,直接判断

例1 “ a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为”( )

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既非充分条件也非必要条件

例 2 函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是( )

A a(-,1] B a[2,+)

C [1,2] D a(-,1][2,+)

例3 a0是方程ax22x10至少有一个负数根的( )

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

例 4 一元二次方程ax2+2x+1=0(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )

A a0 C a1

例 5函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件为( )

A a>0 B a0 C a

例 6平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行.类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:

充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)

例 7在平面上,两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知,是两个相交平面,空间两条直线l1、l2在上的射影是直线

s1,s2,l1,l2在上的射影是t1,t2.用s1与s2,t1与t2的位置关系,写出一

个总能确定l1与l2是异面直线的充分条件:_______

例 8 设P:a>0且b>a+c,q:方程ax2+bx+c=0有两个不等实根.问:q是p的什么条件?

abc例 9在△ABC中,设命题p:,命题q: △ABCsinBsinCsinA

是等边三角形.那么命题p是命题q的( )

A 充分必要条件 B 必要不充分条件

C 充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件

例 10 有限集合S中元素的个数记作card(S).设A、B都为有限集,给出下列命题:

①AB=的充要条件是card(AB)=card(A)+card(B);

②AB的必要条件是card(A)card(B);

③AB的充分条件是card(A)card(B);

④A=B的充要条件是card(A)=card(B).

其中真命题的序号为( )

A ③、④ B ①、② C ①、④ D ③、②

例 11.已知函数y=f(x)(定义域为D,值域为A)有反函数y=f-1(x),则方程f(x)=0有解x=a,且f(x)>x(xD)的充要条件是y=f-1(x)满足_____ 例 12.已知a,b,c为同一平面内的非零向量,甲:abac,乙:,则 ( )

A 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C 甲是乙的充要条件

D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

例 13 设f(x)sin(x),其中0,则函数f(x)是偶函数的充分必要条件是

(A)f(0)0 (B)f(0)1 (C)f(0)1 (D)f(0)0

1.2利用充分条件、必要条件、充要条件的传递性直接判断

例1 已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s 的充分条件,那么:(1)s是q的____条件;(2)r是q的___条件;(3)p是q的______条件

例 2设甲、乙、丙是三个命题。如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )

A 丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件

B 丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件

C 丙是甲的充要条件

D 丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件

1.3构造与命题相对应的集合,借助子集概念判断

例 1 对于实数x,y,判断“x+y8”是“x2或y6”的什么条件?

例 2.若非空集合MN,则”aM或aN”是”aMN”的( )

A 充分非必要条件 B 必要非充分条件

C 充要条件 D 既非充分条件又非必要条件

例 3 设集合A、B是全集U的两个子集,则AB是(CuA)B=U的

( )

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C充要条件 D 既不充分也不必要条件

例 4 0

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

x1例 5集合A={x|

充分条件,则b的取值范围可以是( )

A –2b

1x2

2例6 设p:x-x-20>0,q:0,则p是q的( ) |x|2

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

例 7.设x,yR,则x2+y2

A 充要条件 B 既非必要条件又非充分条件

C 必要非充分条件 D 充分非必要条件

1. 4利用互为逆否命题的等价转化,变更问题进行判断

例 1若A成立,当且仅当B成立.求证:A是B的充要条件 例 2. ”|a-2|2-a”是”a2的______条件.

1.5反证法、反例说明法(只能在确定“若p则q”为假时使用),也是极其重要的判断方法

10例 1 在ΔABC中,“A>30”是“ sinA>”的( ) 2

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件

C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

例2 已知,均为锐角,若p:sin

是q的( )

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件

C 充要条件 D 既不充分条件也不必要条件

例 3 “实数a=b=c”是”不等式a3+b3+c33abc取等号“的( )

A 充分而不必要条件 B 充分必要条件

C 必要而不充分条件 D 既不充分又不必要

例 4. 设命题P:关于x的不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解

abc集相同;命题Q:111,则命题Q( ) a2b2c2

A 是命题P的充分必要条件

B 是命题P的充分条件但不是必要条件

C是命题P的必要条件但不充分条件

D既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件

例 5.”ab

A 必要条件但不是充分条件B 充分条件但不是必要条件

C 充分必要条件 D 既不是充分条件又不是必要条件 例 6.设命题甲:”直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ACB1与对角面

BB1D1D垂直”;命题乙:”直四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正方体”.那么,甲是

乙的( )

A 充分必要条件 B 充分非必要条件

C 必要非充分条件 D 既非充分又非必要条件

例 7 已知函数f(x)是定义在R上的函数,条件甲:f(x)有反函数;条件乙:f(x)是单调函数,则条件甲是条件乙的( )

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

例8.“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件 例9在ΔABC中,”A>B”是”sinA>sinB”的( )

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既非充分条件也非必要条件

x<0},B={x|0<x<3},那么例10 设集合A={x|“mA”是“mB”x1

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

二、 已知结论、条件与结论的关系,探求满足这个关系的条件

2. 1应先分清楚是探求充分条件、必要条件、还是充要条件;如果 是探求充要条件问题,可以“先探求必要条件,再探求充分条件”

例 1.函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )

A ab=0 B a+b=0 C a=b D a2+b2=0

|lg|x1||,x1例 2. 设定义域为R的函数f(x)=,则关于x的方0,x1

程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件为( )

A b0 B b>0,且c

ij(1)写出a45的值;

(1) 写出aij的计算公式;

(2) 证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1是一个合数。

2.2关于解方程(组);求函数的定义域(值域);解不等式(组);求函数单调区间;求数列中最大项问题;探求轨迹问题;以及形如“已知B成立,求A”;“求k在什么范围内取值时,B成立?”等题目,都属于隐含要“充要条件”解题,探求充要条件问题,解答

时也是“先必要,后充分”或用“”两方面同时探求。显然,本问题实际上是要求学生自觉使用充要条件分析问题和解决问题 例 1.已知f(x)=x3+ax2+a2-a为R上的奇函数(aR), 求a的值 例 2. 若xR,|x-3|-|x-5|a有实数解,则实数a的取值范围______

例3 设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2.若对任意的x[t,t+2],不等式f(x+t)2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是( )

A [2,+) B [2,+) C (0,2] D [-2,-1][2,3]

例 4 已知c>0,设P:函数y=cx在R上单调递增;Q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R.

如果P与Q有且只有一个正确,求a的取值范围.

例 5设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c成立在x=1,x=2时,取得极值.

(1)求a,b的值.

(2)若存在x[0,3],使f(x)

例 6.设全集U=R.

(1)解关于x的不等式|x-1|+a-1>0(aR);

(2)记A为(1)中不等式的解集,集合B=

{x|sinx(x-)+cos(x)=0}.若(CuA)B恰有3个元素,33

求a的取值范围.

例 7(1)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明:数列{cn}不是等比数列

(2) 已知数列{cn},其中Cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等

比数列,求常数p.


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