平面向量解答题精选

平面向量解答题精选

1. 设x , y ∈R,i、j为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量,若a=xi+(y+2)j,

b=xi+(y-2) j且a2+b2=16.

(1)求点M(x, y )的轨迹C 的方程;

(2)过定点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点,设=+,是否存

在直线l使四边形OAPB为正方形?若存在,求出l的方程,若不存在说明理由. 解:(1)由a2+b2=16得x2+y2=4…………………………4分 (2)假设直线l存在,显然l的斜率存在 设A(x1,y1) B(x2, y2) 由⎨

⎧y=kx+3

-6k1+k2

22

得(1+k)x+6kx+5=0………………6分 22

⎩x+y=4

x1+x2=x1x2=

5

|OA|=|OB| 2

1+k

∴若OAPB为正方形 只有OA⊥OB|即x1x2+y1y2=0 y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9……………………8分

556k2

+k+3k(-)+9=01+k21+k21+k2

k=±

7……10分 =±

22

∴存在l且l的方程为y=±

x+3…………………………12分 2

2. (1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)²(2a+b)=61,求a与b的夹角θ; (2)设=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使 ⊥,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.

解:(1)∵(2-3)²(2+)=61,∴4a-4a⋅b-3b=61.…(12分) 又|a|=4,|b|=3,∴a²b=-6.…………………………………………(4分).

2

2

θ= ∴cos

1

=-,………………………………………………(5分)

2 ∴θ=120°.………………………………………………………………(6分) (2)设存在点M,且OM=λOC=(6λ,3λ)(0

∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,…………………………(8分)

111

∴45λ2-48λ+11=0,解得:λ=或λ=, (10分)

315

2211

∴OM=(2,1)或OM=(,).

55

∴存在M(2,1)或M(

3. 设a、b是两个不共线的非零向量(t∈R)

(1)记OA=a,OB=tb,OC=

2211

,)满足题意.……………………(12分) 55

1

(a+b),那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线? 3

(2)若|a|=|b|=1且a与b夹角为120 ,那么实数x为何值时|a-xb|的值最小? 解:(1)A、B、C三点共线知存在实数λ,使OC=λOA+(1-λ)OB

即(+)=λ+(1-λ)t,…………………………………………………4分 则λ=

13

11

,实数t=………………………………………………………………6分 32

(2)a⋅b=|a|⋅|b|cos120=-

2

2

1, 2

∴|-x|2=+x2⋅-2x⋅⋅=x2+x+1,……………………………9分

当x=-时,|-x|取最小值

12…………………………………………12分 2

4. 设平面内的向量OA=(1,7), OB=(5,1), OM=(2,1),点P是直线OM上的

一个动点,求当PA⋅PB取最小值时,OP的坐标及∠APB的余弦值. 解 设=(x,y). ∵ 点P在直线OM上,

∴ OP与OM共线,而OM=(2,1),

∴ x-2y=0即x=2y,有=(2y,y). ……………… 4分 ∵ PA=OA-OP=(1-2y,7-y),PB=OB-OP=(5-2y,1-y), ∴ PA⋅PB=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)

= 5y2-20y+12

= 5(y-2)2-8. ……………… 8分 从而,当且仅当y=2,x=4时,PA⋅PB取得最小值-8,此时=(4,2),

=(-3,5),=(1,-1).

于是||=,||=2,PA⋅PB=(-3)⨯1+5⨯(-1)=-8, ∴ cos∠APB=

=

-834⋅2

=-

4.…………… 12分 17

5. 已知向量m=(1,1),向量n与向量m夹角为 (1)求向量;

(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为

的值.

3

π,且m⋅n=-1. 4

π

2

,向量=(2sinA,4cos2

A

),求|2+|2

解:(1)设n=(x,y),由m⋅n=-1,有x+y=-1 ① ………………2分 由与夹角为

33

π,有⋅=||⋅||⋅cosπ. 44

∴||=1,则x2+y2=1.②………………4分 由①②解得⎨

⎧x=-1,⎧x=0,

∴即|n|=(-1,0)或n=(0,-1).…………6分 或⎨

y=0.y=-1.⎩⎩

(2)由与垂直知=(0,-1).…………7分

2+=(2sinA,4cos2

∴|2n+p|=

A

-2)=(2sinA,2cosA),…………10分 2

4sin2A+4cos2A=2…………12分

6. 已知定点A(0,1)B(0,-1),C(1,0).动点P满足:⋅=k||2. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程。

(Ⅱ)当k=0时,求|2AP+BP|的最大值和最小值. 解:(I)设动点的坐标为P(x,y),则

=(x,y-1),=(x,y+1),(x,y-1)(x,y+1)

∴⋅=k|PC|2∴(x,y-1)(x,y+1)=k[(x-1)2+y2]

(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1-=0

(3分)

若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)是平行于y轴的直线.(4分)

若k≠1,则方程化为:(x+k)2+y2=(1)2,表示以(k,0)为圆心,以1为

1-k1-kk-1|1-k|半径的圆. (5分)

(II)当k=0时,方程化为x2+y2=1 .

2+=2(x,y-1)+(x,y+1)=(2x,2y-2)+(x,y+1)=(3x,3y-1)(8分)

|2+|=9x2+(3y-1)2=9-9y2-6y+1=-6y+10(10分)

由x2=1-y2≥0,∴-1≤y≤1,∴|2AP+BP|的最大值为4,最小值为2.

2+=2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1),∴|+|=9x2+9y2-6y+1.

又x2+y2=4x-3,∴|AP+BP|=36x-6y-26

(x-2)2+y2=1,∴令x=2+cosθ,y=sinθ.则

36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46

(9分)

(7分)

=637cos(θ+ϕ)+46∈[46-637,46+637]

∴|2AP+BP|的最大值为.46+6=3+,46-6=-3

(12分)

7. 在平行四边形ABCD中,A(1,1),=(6,0),点M是线段AB的中点,线段CM

与BD交于点P.

(1)若=(3,5),求点C的坐标; (2)当||=||时,求点P的轨迹.

解:(1)设点C坐标为(x0,y0)……1分

又AC=AD+AB=(3,5)+(6,0)=(9,5)……3分

即(x0-1,y0-1)=(9,5)……4分 ∴x0=10,y0=6 即点C(0,6)…5分 (2)解一:设P(x,y),则

=-=(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1)……6分

AC=AM+MC=

111

AB+3MP=AB+3(AP-AB)222

=3AP-AB=(3(x-1),3(y-1))-(6,0)=(3x-9,3y-3)

……8分

ABCD为菱形……9分

|AB|=|AD|

∴AC⊥AD

即(x-7,y-1)⋅(3x-9,3y-3)=0.(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0

∴x2+y2-10x-2y+22=0(y≠1)……11分

故点P的轨迹是以(5,1)为圆心,2为半圆去掉与直线y=1的两个交点……12分 解法二: |AB|=|AD|

∴D的轨迹方程为(x-1)+(y-1)=36

2

2

(y≠1)……7分

1

M为AB中点 ∴P分BD的比为

2

设P(x,y)

B(7,1)∴D(3x-14,3y-2)……9分

∴P的轨迹方程 (3x-15)2+(3y-3)2=36

整理得(x-5)+(y-1)=4

2

2

(y≠1)……11分

故点P的轨迹是以(5,1)为圆心,2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点……12分

→→3π

b=-2, 8. 已知向量a=(2,2),向量b与向量a的夹角为,且a·

4

(1)求向量b;

(2)若t=(1,0)且b⊥t,c=(cosA,2cos

→→

2

C

),其中A、C是△ABC的内角,若三2

角形的三内角A、B、C依次成等差数列,试求|b+c|的取值范围. 解:(1)设=(x,y),则2x+2y=-2,且||=

⋅||cos

34

=1=x2+y2.

⎧x=-1⎧x=0∴解得⎨或⎨,b=(-1,0)或b=(0,-1)

y=0y=-1⎩⎩

(2)B=π, ⊥,且=(1,0),∴=(0,-1). ∴+=(cosA,2cos2C-1)=(cosA,cosC),

23

∴|+|=cosA+cosC=1+=1+cos(A+C)cos(A-C)=1-

2

2

2

1

(cos2A+cos2C) 2

-

2π2π

1

cos(A-C),2

∴-

125

2

2

8.(天津卷第10题)设两个向量a=(λ+2,λ-cos

α)和b= m+sinα⎪,其中

m2

⎫⎭

λ,m,α为实数.若a=2b,则

A.[-6,1]

λ

的取值范围是( ) m

C.[-1,1]

D.[-1,6]

8] B.[4,

解答: 由题意知λ+2=2m, ①

λ2-cos2α=m+2sinα, ②

由①得

λ2=2-. mm

由①②得4m2-9m=2sinα+cos2α-4=-sin2α+2sinα-3, ∴-6≤4m2-9m≤-2. ∴

1

≤m≤2. 4

λ2

=2-∈[-6,1] mm

答案为A.

【说明】 两个参数的比值转化为只含一个参数,再求其范围.

9.(重庆卷第10题)如题(10)图,在四边形ABCD中,

AB+BD+DC=4,

||∙||+||∙||=4,∙=∙=0,

则(+)∙的值为( ) A.2

B.

C.4

D.A

B

题(10)图

解答: 由|BD|+(|AB|+|DC|)=4,以及|BD|⋅(|AB|+|DC|)=4, 得||=||+||=2.

(+)⋅=(+)⋅(++)

=AB2+⋅+⋅+⋅+⋅+DC2=AB2+2⋅AB⋅DC+DC2=(||+||)2=22=4.

答案为C.

【说明】 向量积的简单运用.

10.(辽宁卷第3题)若向量a与b不共线,a²b≠0,且c=a- 夹角为( )

A.0 B.

⎡⎣

⎛a∙b⎫

⎪b,则向量a与c的a∙b⎝⎭

πππ

C. D.

263

解答: a∙c=a∙⎢a-

⎛a∙b⎫⎤⎛a∙a⎫

⎪b⎥=a∙a-a∙b ⎪=a∙a-a∙a=0. a∙ba∙b⎝⎭⎦⎝⎭

则a与c的夹角为

π. 2

答案为D.

12.(福建卷第4题)对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中真命题是( ) A.若a²b=0,则a=0或b=0 B.若λa=0,则λ=0或a=0

22

C.若a=b,则a=b或a=-b

D.若a²b=a²c,则b=c

解答: 对于A,可举反例:当a⊥b时,a∙b=0, 对于C,a2=b2只能推得|a|=|b|,而不能推出a=±b. 对于D,a∙b= a∙c可以移项整理推得a⊥(b - c). 答案为B.


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