高考数学--三角函数与向量

向量与三角函数综合

常用解题思想方法

1.三角函数恒等变形的基本策略 (1)常值代换:特别是用“1”的代换, 如(

2

凑;

等。 。

配凑角:,等。

(3)降次与升次。即用倍角公式降次与升次。

(4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。 (5)引入辅助角。

,这里辅助角

所在象限由、

b 的符号确定,角的值由确定。

2.证明三角等式的思路和方法 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。

(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:

比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略

(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 典型例题:

考点一:三角函数的求值与化简 此类题目主要有以下几种题型:

⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力,以及求三角函数的值的基本方法.

⑵考查运用诱导公式、倍角公式,两角和的正弦公式,以及利用三角函数的有界性来求

值的问题.

⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法,考查三角恒等变形及求角的基本知识.

例题1. (2007年重庆卷文)已知函数

.

(Ⅰ)求的定义域; (Ⅱ)若角在第一象限且,求.

命题目的:本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式,同角三角函数的关系等基本知识,考查运算和推理能力,以及求角的基本知识. 解答过程:

(Ⅰ)由得,即

故的定义域为

(Ⅱ)由已知条件得

从而

例题2. (2006年安徽卷)已知

(Ⅰ)求

的值;

(Ⅱ)求的值

命题目的:本小题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式,倍角公式等基本知识,考查运算和推理能力. 解答过程:

(Ⅰ)∵,

∴,解得或.

,,.

(II

例题3. (2007年四川卷理)已知

(Ⅰ) 求

的值. (Ⅱ)求.

<<<,

命题目的:本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能. 解答过程:

(Ⅰ)由,得

∴,于是

(Ⅱ)由,得

又∵由

,∴得:

所以

例题4. (2006年湖南卷)已知

基本知识,考查运算和推理能力,以及求角的基本知识.. 解答过程:

,,求的值.

命题目的:本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式,倍角公式等

由已知条件得

即. 解得或.

知,从而或.

考点二:解三角形

此类题目以考查正弦定理,余弦定理,两角差的正弦公式,同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识,以及考查基本的运算为主要特征. 解此类题目要注意综合应用上述知识.

例题5.(2007年浙江卷理)已知

的周长为,且.

(I )求边的长;(II )若的面积为,求角的度数.

命题目的:本小题考查正弦定理、余弦定理和三角函数等基础知识,考查基本运算能力及分析解决问题的能力. 解答过程:

(I )由题意及正弦定理,得

,两式相减,得

, .

(II )由的面积,得,

由余弦定理,得

,所以.

例题6. (2006年天津卷)如图,在

(1)求 (2)求

的值;

的值.

中,,,.

命题目的:本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算能力及分析解决问题的能力. 解答过程:

(Ⅰ)由余弦定理得那么,

(Ⅱ)由,且得

由正弦定理,得,解得. 所以

由倍角公式得,,

.

例题7.(2007年福建卷文17)在

(Ⅰ)求角

的大小;(Ⅱ)若

中,

边的长为

,求

边的长.

命题目的:本题主要考查三角函数的诱导公式、正弦定理及两角和公式等基础知识,考查运算能力. 解答过程: (Ⅰ)

又,.

(Ⅱ)由且,

,,.

考点三:求三角函数的定义域、值域或最值 此类题目主要有以下几种题型:

⑴考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式,以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.

⑵考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式,倍角

公式等基本知识,考查运算和推理能力.

⑶考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.

例题8. (2006

年辽宁卷)已知函数

值域是( )

, 则的

A. B. C. D.

命题目的:本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式,以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.

解法1:,当时,,故选C.

解法2:当故选C.

时,知A 、C 、D

不可能,由时,,

例题9.(2007年陕西卷文17)

设函数

(Ⅰ)求实数

. 其中向量

的值;(Ⅱ)求函数

的最小值.

.

命题目的:本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式,以及利用三角函数的有界性来求最值的能力. 解答过程:

(Ⅰ),,得.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,

当时,的最小值为.

例题10. (2006年北京卷)已知函数

(Ⅰ)求

的定义域;

(Ⅱ)设是第四象限的角,且,求的值.

命题目的:本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式,倍角公式等基本知识,考查运算和推理能力. 解答过程:

(Ⅰ)

由得. 故的定义域为,

(Ⅱ)因为,且是第四象限的角,所以

例题11.

(1)求(2)若

、、的值; 、

为方程

的两根,

的周期,最大值,

的终边不共线,求的值.

命题目的:方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数的周期性. 解答过程: (1)

, ∵

,∴

又∵的最大值, ∴,解得, .

(2)由(1)知,

∵,

即(、的终边共线,故舍去) 或

.

例题12. (2006年重庆卷)设函

),且

的图象在

轴右侧的第一个最高点的横坐标为

.

(其

(I )求的值;(II )如果在区间上的最小值为,求的值.

命题目的:本题考查利用三角函数的性质逆用两角和的正弦公式等基本知识,考查运算和推理能力. 解答过程:

(Ⅰ),

依题意得,解得.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 又当时,,

从而在上取得最小值.

因此,由题设知

. 故.

例题13(2006年广东卷)已知函数

(Ⅰ)求 (Ⅱ)求

的最小正周期; 的最大值和最小值;

(Ⅲ)若,求的值.

命题目的:本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和的公式,倍角公式等基本知识,考查运算和推理能力.

解答过程:

(Ⅰ) (Ⅱ)

的最小正周期为的最大值为

和最小值

; ;

(Ⅲ)因为

,即即.

考点四:三角函数的图象和性质

考查三角函数的图象和性质的题目,是高考的重点题型. 此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用. 会用数形结合的思想来解题.

求:

(Ⅰ)求函数 (Ⅱ)函数

的最大值及取得最大值的自变量的集合; 的单调增区间.

14. (2006年辽宁卷)已知函数

命题目的:本题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力. 解答过程:

(I )∵

.

当,即时,取得最大值.

因此,取得最大值的自变量的集合是.

(Ⅱ)解:

由题意得,即.

因此,

的单调增区间是.

例题15.(2007年湖南卷理16)已知函数

(I )设 (II )求函数

是函数

图象的一条对称轴,求的单调递增区间.

,的值.

命题目的:本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识,以及分析问题和推理计算能力. 解答过程:

(I )由题设知.

因为是函数图象的一条对称轴,所以,即

所以.

当为偶数时,,

当为奇数时,.

(II )

当,即()时,函数

是增函数,故函数

的单调递增区间是()

例题16. (2006年福建卷)已知函数

(I )求函数 (II )函数

的最小正周期和单调增区间; 的图象可以由函数

的图象经过怎样的变换得到?

命题目的:本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识,以及推理和运算能力. 解答过程:

(I )

的最小正周期

由题意得,即

的单调增区间为

(II )先把图象上所有点向左平移个单位长度,

得到的图象,

再把所得图象上所有的点向上平移

个单位长度,就得到的图象.

例题17. (2006年西卷)已知函数

(I )求函数

的最小正周期;(II )求使函数

取得最大值的集合.

命题目的:本题考查三角公式、三角函数的周期性及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力. 解答过程:

(Ⅰ)

∴函数

的最小正周期

.

(Ⅱ) 当取最大值时, , 有,即()

∴所求的集合为

考点五:平面向量、三角函数的图象和性质

.

考查平面向量和三角函数的图象和性质相结合的题目,是高考的热点题型. 此类题目要求考生在熟练掌握平面向量和三角函数图象的基础上要对平面向量和三角函数的性质灵活运用. 会用数形结合的思想来解题.

例题18. (2006年安徽卷6)将函数

的图象按向量平移,平

移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( )

A . B .

C . D.

命题目的:本题考查了应用平面向量平移图象和应用数形结合的思想解题的能力.

解答过程:将函数的解析式

的图象按向量平移,平移后的图象所对应

,由图象知,所以,因此选C.

例题19. (2006年全国Ⅱ卷)已知向量

(Ⅰ)若

,求;(Ⅱ)求

的最大值.

命题目的:本题主要考查应用平面向量、三角函数知识分析和计算能力. 解答过程: (Ⅰ)若

,则

由此得 (Ⅱ)由

, 所以.

即时,的最大值为.

例题20. (2006年四川卷)已知

向量

是三角形三内角,

,且

(Ⅰ)求角;(Ⅱ)若,求.

命题目的:本题考查了平面向量、三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式等知识. 考查应用、分析和计算能力. 解答过程:

(Ⅰ)

∵,

∴ ,

.

∵, ∴,∴.

(Ⅱ)由题知 ∴ ∴ 而∴

.

, ∴或使

,整理得

.

.

,舍去.

.


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