高考模拟题之三角函数的性质

高考模拟题之三角函数的性质

一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)

ππ⎤1.(2010·重庆) 下列函数中,周期为π,且在⎡⎣42⎦上为减函数的是( )

ππ2x +⎫ B .y =cos ⎛2x + A .y =sin ⎛2⎭2⎝⎝

πx + C .y =sin ⎛⎝2 πx + D .y =cos ⎛⎝2πππ2x =cos2x 的最小正周期为π,且在⎡⎤上是减函数,故选A. 解析:由于y =sin ⎛2⎝⎣42⎦

答案:A

2.(2010·陕西) 函数f (x ) =2sin x cos x 是( )

A .最小正周期为2π的奇函数

B .最小正周期为2π的偶函数

C .最小正周期为π的奇函数

D .最小正周期为π的偶函数

解析:因为f (x ) =2sin x cos x =sin2x 是奇函数,T =π,所以选C.

答案:C

3.(2010·陕西) 对于函数f (x ) =2sin x cos x ,下列选项中正确的是( )

ππA .f (x ) 在⎛⎝4,2上是递增的

B .f (x ) 的图象关于原点对称

C .f (x ) 的最小正周期为2π

D .f (x ) 的最大值为2

ππ解析:f (x ) =2sin x cos x =sin2x ,故f (x ) 在⎛⎝42上是递减的,A 错;f (x ) 的最小正周期为π,最大值为1,

C 、D 错.故选B.

答案:B

4.在下列关于函数y 3sin2x +cos2x 的结论中,正确的是( )

ππ-k π,+k π⎤(k ∈Z) 上是增函数 A .在区间⎡6⎣3⎦

πB 2

C .最大值为1,最小值为-1

D .是奇函数

答案:A

ππ-,⎤上是增函数,那么( ) 5.ω是正实数,函数f (x ) =2sin(ωx) 在⎡⎣34⎦

3A .0<ω B .0<ω≤2 2

24C .0<ω D .ω≥2 7

ππωπωπππ-,,则ωx∈⎡-. 又y =sin x 是⎡-上的单调增函数, 解析:x ∈⎡⎣34⎣34⎣22⎧42则⎨ωππ--⎩32

答案:A ωππ3⇒0<ω≤. 2

1-1,⎤,则b -a 的值不可能是( ) 6.已知函数y =sin x 定义域为[a ,b ],值域为⎡2⎦⎣

π2π4πA. B. C .π D. 333

2π4π解析:画出函数y =sin x 的草图分析知b -a 的取值范围为33,故选A.

答案:A

二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)

π2x -⎫-2sin 2x 的最小正周期是________. 7.(2010·浙江) 函数f (x ) =sin ⎛4⎭⎝

π1-cos2x 22222x -⎫-22sin 2x =sin2x -cos2x -22×解析:f (x ) =sin ⎛=sin2x +cos2x -2=4⎭⎝22222

π2π2x -2,故该函数的最小正周期为π. sin ⎛4⎝2

答案:π

π0,上的函数y =6cos x 的图象与y =5tan x 的图象交于点P ,过点P 作x 8.(2010·江苏) 设定义在区间⎛⎝2轴的垂线,垂足为P 1,直线PP 1与函数y =sin x 的图象交于点P 2,则线段P 1P 2的长为________.

⎧y 0=6cos x 0⎪解析:设P (x 0,y 0) ,则由⎨消去y 0得,6cos x 0=5tan x 0⇒6cos 2x 0=5sin x 0,即6sin 2x 0+5sin x 0⎪⎩y 0=5tan x 0

322-6=0,解得sin x 0=-(舍去) 或,∵PP 1⊥x 轴,且点P 、P 1、P 2共线,∴|P 1P 2|=sin x 0=. 233

2答案:3

9.(2010·山东潍坊模拟) 对于函数

⎧⎪sin x ,sin x ≤cos x f (x ) =⎨给出下列四个命题: ⎪cos x ,sin x >cosx ⎩

①该函数是以π为最小正周期的周期函数;

②当且仅当x =π+k π(k ∈Z) 时,该函数取得最小值是-1;

5π③该函数的图象关于x =2k π(k ∈Z) 对称; 4

π2④当且仅当2k π

其中正确命题的序号是________.(请将所有正确命题的序号都填上)

答案:③④

10.给出下列五个命题,其中正确命题的序号为______.

π1π2x +⎫ ①函数y =⎪sin ⎛3⎭3⎪⎝2

3π3πx -⎫在区间⎡π,上单调递减; ②函数y =sin ⎛2⎝2⎭⎣

5π5π2x +的图象的一条对称轴; ③直线x =是函数y =sin ⎛2⎝4

4④函数y =sin x +x ∈(0,π)的最小值是4; sin x

x cos x ⑤函数y =tan 的一个对称中心为点(π,0) . 2sin x

5π⎫3解析:①最小正周期是π,②y 在区间[π,π]上单调递增,③⎛⎝40⎭为对称中心,④sin x ≠2,∴y 的2

最小值不是4.

答案:⑤

三、解答题:(本大题共3小题,11、12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)

111.已知函数f (x ) =x -cos x ) . 2

(1)求它的定义域和值域;

(2)判定它的奇偶性;

(3)判定它的周期性,若是周期函数,求出它的最小正周期.

πx >0, 解:(1)由sin x -cos x >0⇒2sin ⎛⎝4π5π2k π2k π+(k ∈Z) . ∴定义域为⎛44⎝

π1x -∈(0,2],∴值域为⎡-,+∞⎫. ∵2sin ⎛⎝4⎣2⎭(2)∵定义域关于原点不对称,

∴f (x ) 是非奇非偶函数.

1(3)∵f (x +2π)=log x +2π)-cos(x +2π)] 2

1=log (sinx -cos x ) =f (x ) , 2

∴已知函数是周期函数,且最小正周期T =2π.

1312.求当函数y =sin 2x +a cos x --的最大值为1时a 的值. 22

分析:先通过变形化为关于cos x 的二次函数,配方后,根据函数式的特点,对a 进行分类讨论.

a ⎫2a 2a 113a 12⎛解:y =1-cos x +a cos x a -=-cos x +a cos x --=-⎝cos x -2⎭+--22224222

设cos x =t ,∵-1≤cos x ≤1,∴-1≤t ≤1.

a a a 1t -2+,-1≤t ≤1. ∴y =-⎛⎝2422

a 33(1)当1,即a <-2时,t =-1,y 有最大值-a -222335由已知条件可得-a 1,∴a =->-2(舍去) . 223

a a a 2a 1(2)当-11时,即-2≤a ≤2时,t ,y 有最大值--22422

a 2a 1由已知条件可得-=1,解得a =17或a =1+7(舍去) . 422

a a 3(3)当1,即a >2时,t =1,y 有最大值-222a 3由已知条件可得=1,∴a =5. 22

综上可得a =1-7或a =5.

评析:解答此类问题的一般步骤:

(1)化为关于sin x 或cos x 的二次函数;

(2)利用配方法或换元法,转化为闭区间上二次函数的最值问题;

(3)对于字母系数的问题需进行分类讨论.

π13.(2010·广东) 已知函数f (x ) =A sin(3x +φ)(A >0,x ∈(-∞,+∞),0

(1)求f (x ) 的最小正周期; 2

(2)求f (x ) 的解析式;

2π12+=sin α. (3)若f ⎛⎝3125

2π解:(1)T 3

π3×+φ⎫=1, (2)由题设可知A =4且sin ⎛⎝12⎭

πππ则φ++2k π(k ∈Z) ,得φ=2k π(k ∈Z) . 424

ππ3x +. ∵0

2ππ12+=4sin ⎛2α+=4cos2α=, (3)∵f ⎛2⎝312⎝5

3∴cos2α5

115∴sin 2α=2-cos2α) =5∴sin α=5.


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