函数可积与原函数存在的关系

第36卷第8期2006年8月

数学的实践与认识

Vol.36 No.8 August,2006 

函数可积与原函数存在的关系

邢秀侠, 范周田

(北京工业大学应用数理学院,北京 100022)

摘要: 详细探讨函数黎曼可积性与原函数存在性之间的相互关系,通过构造具体函数说明黎曼可积与原

函数存在是相互独立形成的不同概念,它们之间是互不蕴含的关系.

关键词: 黎曼可积;原函数;牛顿-莱布尼茨公式

1 引  言

  在讲授一元函数积分时,现行大多数高等数学教材是先讲述不定积分,直接承认原函数存在定理(其证明将在后面定积分一章中给出);而在处理定积分的计算时又通过牛顿-莱布尼茨公式(以下简称牛-莱公式)将定积分转化为原函数在区间上的增量.由此给许多学生带来的一个非常困惑的问题是:函数可积(或定积分)与原函数(或不定积分)之间到底有怎样的关系?牛-莱公式在某种程度上反映了这种关系:

定理[1-3] 设f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则

f(x)dx=∫

ab

F(b)-F(a). (牛-莱公式)

  由原函数存在定理可知,f(x)在[a,b]上的连续性蕴含了其原函数的存在性.少数数

学分析教材[4]将上述定理中关于f(x)的条件减弱为:f(x)在[a,b]上黎曼可积.人们不禁怀疑:f(x)可积是否也蕴含其原函数的存在性?反过来,f(x)的原函数存在是否蕴含其可积性?或者说,要使牛-莱公式成立,“函数可积”和“原函数存在”是否皆为必要条件?大多数现行高等数学和数学分析教材中都没有详细探讨这个问题.本文将从正反两个方面详细讨论函数可积与原函数存在之间的关系.

2 函数可积与原函数存在之间的关系

1)在区间[a,b]上黎曼可积的函数不一定存在原函数.

由导函数的介值性质可知,导函数不具有第一类间断点.因此,若f(x)在[a,b]上具有有限个第一类间断点,则f(x)在整个区间上不存在原函数;但其属于三类可积函数之一,故它是可积的.这种情形的例子很多,任何具有有限个第一类间断点的函数都可以.1,x>0,x+1,x>0.

在此基础上,可以进一步讨论可积函数的变上限积分与原函数之间的关系.

¹f(x)在[a,b]上可积,变上限积分

:[2]

例如,f(x)=

0,xF0,

 g(x)=

x2,

xF0,

f(t)dt(即使处处可导)不一定是其原函数.∫

a

x

380

数 学 的 实 践 与 认 识36卷

例子:区间[0,1]上的黎曼函数

f(x)=

,q0,

注意到f(x)在[0,1]上可积,

10

x=

(p,q为正整数,为既约分数),qq

x=0,1和无理数.

x0

f(t)dt=0,且g(x)=∫f(t)dt≡0,x∈[0,1].故在[0,1]∫

上,g(x)处处可导,且g′(x)≡0.但在稠密集Q\{0,1}上,都有g′(x)≠f(x).

º若f(x)在[a,b]上可积,且存在一个原函数F(x),则af(t)dt是其一原函数.f(x)dx=F(b)-F(a).把上限b看作变量,则f(t)dt=F(x)-∫∫

F(a),x∈[a,b].变上限积分f(t)dt与原函数F(x)只差一个常数F(a),故其是f(x)的∫由牛-莱公式,

a

a

xa

b

x

x

一个原函数.

综合¹—º,对于闭区间[a,b]上的可积函数,要么其原函数不存在,要么变上限积分f(t)dt就是其一个原函数.∫

ax

2)在[a,b]上存在原函数的函数不一定黎曼可积.对此,可以从两个角度来理解.

¹若函数f(x)在[a,b]上存在原函数,但其本身无界,则f(x)不可积.例子:对任意实数m>1,函数

F(x)=

其导函数

f(x)=

mx

m-1

xmsin

0,

,xx≠0,x=0,

sin

-cos,

xxx

x≠0,

0,x=0.

f(x)在[-1,1]上存在原函数,但其在原点附近无界,故f(x)在包含原点的任何闭区间上不可积.

º若有界函数f(x)在[a,b]上存在原函数,但其具有的第二类间断点构成一个正测度集,则f(x)不可积.

这种例子的构造比较复杂,涉及实变函数课程中勒贝格测度方面的知识.先来看这样一个例子:对任意实数m>0,函数

H(x)=

其导函数

h(x)=

)(m+1)xmsin

,-mcosxxx≠0,x=0.

x

m+1

[5]

sin0,

,x

x≠0,x=0,

0,

8期邢秀侠,等:函数可积与原函数存在的关系

381

下面,利用h(x)在x=0处间断的性质和具有正测度的康托尔集的性质来构造适当的例子.

第1步 构造具有正测度的康托尔集C.取l∈(0,1).令E0=-,

242+,12度均1-4

+

[0,1],从E0正中间删去长度为

的开区间2的闭区间0,-和

24

;令E1是余下的两个长度为1-422

的并,从这两个区间正中间各删去长度为的开区间;令E2是余下的四个长

8

-的闭区间的并,从这四个区间正中间各删去长度为的开区间.如

2432

n-1此下去…,第n次从余下的2个长度为1-2-…-的闭区间正中间各删

22

n

去长度为的开区间.于是得紧集序列{En},显然E1=E2=E3=…,En是2个闭区间

2

1--…-的并,每个区间的长度是.称C=∩En为具有正测度的康托尔集.n=1222

易知整个过程删去的开区间并集的测度为l,康托尔集C的测度是1-l.可验证,正测度的康托尔集C是完备的疏朗集.

第2步 构造函数F(x),验证F(x)的导函数满足性质º.

任意取定m>0,定义函数G(x)=xm+1sin,x>0.对任意正数p,定义

xG(x),0

xp=max{x∈RûG′(x)=0,xFp},及函数Gp(x)=

G(xp),xpFxFp.设(a,b)为构造康托尔集C时从[0,1]删去的任一开区间,在[0,1]上定义函数F(x)如下:

0,

F(x)=

Gp(x-a),Gp(b-x),

其中p=

x∈C,a

2Fx

.2

首先,验证F(x)在[0,1]上处处可导,且其导函数在[0,1]上有界.

(i)设x∈C,y∈[0,1],则有两种情形:(a)F(y)=0;û(F(y)-F(x))/(y-x)û=

0Fûy-xû;(b)y属于某个删去的区间(a,b).设d为端点a,b中靠近y的那个,则û(F(y)-F(x))/(y-x)û=ûF(y)/(y-x)ûFûF(y)/(y-d)û=ûGp(y-d)/(y-d)ûFûy-dûFûy-xû.所以F′(x)=0,x∈C.(ii)设x属于任一删去的区间(a,b),由F(x)的定义,ûF′(x)ûFû(m+1)zsin中某一点.

其次,记f(x)=F′(x),验证f(x)在正测度的康托尔集C上处处间断.

,()=,Cx

m

-mcosûF2m+1,其中z为区间(a,b)zz

382

数 学 的 实 践 与 认 识36卷

为疏朗集的性质.故f(x)在正测度的康托尔集C中的任意点间断.

综上,函数f(x)=F′(x)在[0,1]上有界,存在原函数,但不可积.3)对于连续函数,黎曼可积与存在原函数是统一的.

闭区间[a,b]上的连续函数f(x)在[a,b]上既黎曼可积,又存在原函数.这时变上限积分

f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.∫

ax

4)存在既不可积也不存在原函数的函数.例子:狄利克雷函数

f(x)=

1,0,

x∈Q,x∈Qc.

在任意闭区间上,f(x)不可积;因其不满足导函数具有的介值性,故也不存在原函数.

3 结束语

函数黎曼可积与原函数存在是两个相互独立形成的不同概念,二者之间无必然的蕴含关系.故仅当函数黎曼可积且存在原函数时,牛-莱公式才成立,两个条件缺一不可.

参考文献:

[1] 同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1991.[3] 张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,1990.[4] 周民强.数学分析[M].上海:上海科学技术出版社,2003.

[5] 盖尔鲍姆BR,奥姆斯特德JMH.分析中的反例[M].上海:上海科学技术出版社,高枚译,1980.

OntheRelationshipbetweenIntegrabilityofFunctionsandPrimitiveFunctions

XINGXiu-xia, FANZhou-tian

(CollegeofAppliedScience,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100022,China)Abstract: Thisarticlerevealsthatintegrabilityoffunctionsandexistenceofprimitivefunctionsaretwoindependentconcepts,andpointsoutthatoneofthemdoesnotnecessarbyindicateanother.byexamples.

Keywords: Riemannintegrability;primitivefunctions;Newton-Leibnizformula


相关内容

  • 逻辑结构设计

    4.逻辑结构设计 4.1将概念结构转换为关系模型 会员{会员卡号,会员姓名,出生日期,办卡日期,联系电话,微信号 } 消息{联系电话,优惠消息内容,发送日期,发送人} 消费记录{会员卡号,订单号,消费日期,商品条码,商品名称,数量,商品单价 ...


  • 数学分析内容中体现的数学思想

    微积分的诞生,是全部数学史上的一个伟大创举.它曾经历了两千多年的孕育和准备阶段:随着十六.十七世纪欧洲的文艺复兴.产业革命等一系列社会改革,社会生产得到了具大的发展,从而对数学的需求更加迫切,微积分也应运而生:经过十八.十九世纪数学家们的努 ...


  • 利用函数性质判定方程解的存在 教案 2017-2018学年高中数学 北师大版 必修一

    1. 知识与技能 (1)结合二次函数的图象, 理解零点的定义及方程的根与函数的零点的等价条件, 学会判断函数零点的存在性及零点的个数, 从而体会函数的零点与方程的根的联系; (2)理解并会运用函数在某个区间上存在零点的判定方法. 2. 过程 ...


  • 数学函数的发展史

    总课题:数学的发展史 子课题:函数的发展史 一. 组长:李 组员:刘 田 二. 指导老师:张 仁 姬 孙 三.班级:高一12班 四.成员简介: 李:性格开朗.刻苦认真 担任组长 刘 :喜欢英语.大方 担任搜集 仁 :喜欢信息.刻苦认真 担任 ...


  • 讨论二元函数连续性_偏导存在性及可微性间的关系

    第23卷第2期 哈尔滨师范大学自然科学学报 NAT URAL SC I E NCES JOURNAL OF HARB I N NOR MAL UN I V ERSI TY Vol . 23, No . 22007 讨论二元函数连续性.偏导存 ...


  • 专接本数学

    数三 管理类农学类 1 考试说明 一.内容概述与总要求 参加数三考试的考生应理解或了解<高等数学>中函数.极限.连续.一元函数微分学.一元函数积分学.向量代数与空间解析几何.多元函数微积分学.无穷级数.常微分方程以及<线性 ...


  • 高二数学导数教学分析与建议

    高二导数教学分析与建议 主要知识分析: 一. 变化率与导数 (一)平均变化率 <普通高中数学课程标准(实验) >(以下简称<课程标准>) 对本节的要求是:通过对大量实例的分析, 理解函数的平均变化率问题. 函数的平均 ...


  • §3.1.1方程的根与函数的零点

    §3.1.1方程的根与函数的零点 一.教学目标 (1)理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程之间的关系, (2)掌握零点存在的判定条件及判定方法的简单应用. (3)在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. ...


  • 理科普通高等学校少数民族本科预科数学考试大纲

    普通高等学校少数民族本科预科数学 考试大纲 (一年制理科) Ⅰ.考试性质与目的 预科数学结业会考是教育部民族教育司指导和监督, 高等学校少数民族预科教育教学和管理工作指导委员会受教育部民族教育司委托负责具体实施,全国各预科培养院校一年制预科 ...