高中数学__空间向量与立体几何

第三讲 空间向量与立体几何

要点考向1:利用空间向量证明空间位置关系

例1:(2010·安徽高考理科·T18)如图,在多面体ABC D EF 中,四边形A B C D 是正方形,E F ∥A B ,

EF ⊥FB ,AB =2EF ,∠B F C =90︒,B F =F C ,H 为B C 的中点。

(1)求证:F H ∥平面E D B ;

(2)求证:A C ⊥平面E D B ; (3)求二面角B -D E -C 的大小。 【规范解答】

四边形ABC D 为正方形,∴AB ⊥BC , 又 EF ⊥FB , EF //AB , ∴AB ⊥FB , 且BC FB =B ,∴AB ⊥平面FBC , ∴AB ⊥FH , 又BF =FC , H 为BC 中点,∴FH ⊥BC , 且AB BC =B , ∴FH ⊥平面ABC .

如图,以H 为坐标原点,分别以H B 、G H 、H F 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系,

令BH =1, 则A (1,-2, 0), B (1,0, 0), C (-1, 0, 0), D (-1, -2, 0), E (0,-1,1), F (0,0,1).

(1)

设AC 与BD 的交点为G ,连接GE 、GH, 则G (0,-1,0),∴GE =(0,0,1),

又 H F =(0,0,1), ∴GE //H F G E ⊂平面EDB, H F ⊄平面EDB, ∴H F //平面EDB

AC =(-2, 2, 0), GE =(0,0,1), ∴AC GE =0, ∴AC ⊥GE .

又AC ⊥BD, 且GE BD=G,∴AC ⊥平面EBD.

(2)

设平面BDE 的法向量为n 1=(1,y 1, z 1), 设平面CDE 的法向量为n 2=(1,y 2, z 2), BE =(-1, -1,1), BD =(-2, -2, 0). C D =(0,-2, 0), C E =(1,-1,1).

(3)⎧ ⎧ y 2=0⎧-1-y 1+z 1=0⎧⎪BE n 1=0⎪C D n 2=0

由⎨ , 即⎨,得y 1=-1,z 1=0, 由⎨ , 即⎨,得y 2=0,z 2=-1,

-2-2y =01-y +z =0⎩1⎩22⎪⎪⎩BD n 1=0⎩C E n 2=0

∴n 1=(1,-1,0)∴n 2=(1,0,-1)

n n 21

=∴cos =1=,

2|n 1||n 2|

∴=60, 即二面角B-DE-C 为60。

要点考向2:利用空间向量求线线角、线面角

考向链接:1.利用空间向量求两异面直线所成的角, 直线与平面所成的角的方法及公式为:

(1)异面直线所成角

设分别为异面直线(2)线面角

的方向向量,则

是直线l 的方向向量,n 是平面的法向量,则

2.运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为:

(1)建立恰当的空间直角坐标。(2)求出相关点的坐标。(3)写出向量坐标。(4)结合公式进行论证、计算。(5)转化为几何结论。

例2:(2010·辽宁高考理科·T19)已知三棱锥P -ABC 中,PA ⊥ABC ,AB ⊥AC ,PA=AC=AB=4AN,M,S分别为PB,BC 的中点.

(Ⅰ)证明:CM ⊥SN ;

(Ⅱ)求SN 与平面CMN 所成角的大小. 【规范解答】

设PA =1,以A 为原点,射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系,图。

则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0, (I )

1 11C M =(1,-1, ), SN =(-, -, 0),

222

11

因为C M SN =-++0=0

22

所以C M ⊥SN

1

(II)N C =(-,1, 0),

2

设a =(x , y , z ) 为平面C M N 的一个法向量,z ⎧

x -y +=0 ⎪⎪2则⎨令x =2, 得a =(2,1,-2)

1⎪-x +y =0⎪⎩2

因为|cos|=

=2o

12

AB ,N 为AB 上一点,

12

) ,N(

12

,0,0) ,S(1,

12

,0)

所SN 与平面C M N 所成的角为

45

要点考向3:利用空间向量求二面角

考向链接:求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

其计算公式为:设

分别为平面

的法向量,则θ与

互补或相等,

例3:(2010·天津高考理科·T19)

如图,在长方体ABC D -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是棱B C , C C 1 上的点,C F =AB =2C E , AB :AD :AA 1=1:2:4 (1) 求异面直线E F 与A 1D 所成角的余弦值; (2) 证明A F ⊥平面

A E D

(3) 求二面角A 1-ED -F 的正弦值。

(4) 【规范解答】方法一:以A 为坐标原点,AB 所在直线为X 轴,AD 所在直线为Y 轴建立

空间直角坐标系(如图所示),设AB =1, 依题意得

⎛3⎫

D (0, , 2F (1,2,1) , A 1(0,0, 4) , E 1, , 0⎪

⎝2⎭

⎛1⎫ E F A 1D 3

(1) 易得EF = 0, ,1⎪, A 1D =(0,2, -4) ,于是cos E F , A 1D ==-,

5E F A 1D ⎝2⎭

所以异面直线E F 与A 1D 所成角的余弦值为

35

⎛3⎫ ⎛1⎫

(2) 证明:已知A F =(1,2,1) , EA 1= -1, -, 4⎪, ED = -1, , 0⎪

2⎭2⎭⎝⎝

于是AF ·EA 1=0,AF ·ED =0.因此,A F ⊥E A 1, AF ⊥ED , 又EA 1⋂ED =E

所以A F ⊥平面A 1E D

⎧1 y +z =0⎧⎪ ⎪u E F =0⎪2

(3)解:设平面E F D 的法向量u =(x , y , z ) ,则⎨ , 即⎨

1⎪⎪-x +y =0⎩u E D =0

⎪⎩2

不妨令X=1,可得u =(1,2-1)。由(2)可知,A F 为平面A 1ED 的一个法向量。

→→

于是cos

→→

u , A F

2

==,从而sin |u ||AF|

3

u , A F =

3

A 1-ED -F

的正弦值为

3

要点考向4:利用空间向量解决探索性问题

例4:(2010·福建高考理科·T18)如图,圆柱OO 1内有一个三棱柱ABC-A 1B 1C 1, 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB 是圆O 的直径。

(I )证明:平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1;

(II )设AB =AA 1, 在圆柱OO 1内随机选取一点,记该点取自三棱柱ABC-A 1B 1C 1内的概率为p 。

(i )当点C 在圆周上运动时,求p 的最大值;

(ii )记平面A 1ACC 1与平面B 1OC 所成的角为θ(00

【规范解答】 (I ) A 1A ⊥平面ABC ,B C ⊂平面ABC ,∴A 1A ⊥BC ,又A B 是 O 的直径,∴B C ⊥A B ,又

∴AC ⋂AA 1=A ,∴BC ⊥平面A 1AC C 1,而B C ⊂平面B 1BCC 1,所以平面A 1AC C 1⊥平面B 1BCC 1;

(II )(i )设圆柱的底面半径为r ,则AB =AA 1=2r ,故圆柱的体积为V =πr 2⋅2r =2πr 3,设三棱柱ABC-A 1B 1C 1, 的体积为V 1,所以P =

V 1V

,所以当V 1取得最大值时P 取得最大值。又因为点C 在

圆周体积

上运动,所以当O C ⊥A B 时,∆A B C 的面积最大,进而,三棱柱ABC-A 1B 1C 1, 的

V 1最大,且其最大值为

12

⋅2r ⋅r ⋅2r =2r ,故P 的最大值为

3

间直

(ii )由(i )知,P 取最大值时,O C ⊥A B ,于是,以O 为坐标原点,建立空角坐标系O -xyz ,则C (r , 0, 0), B (0, r , 0), B 1(0, r , 2r ), BC ⊥平面

⎧⎪n ⊥O C

A 1AC C 1,∴BC =(r , -r , 0)是平面A 1AC C 1的一个法向量,设平面B 1O C 的法向量为n =(x , y , z ),由于⎨ ,

⎪⎩n ⊥O B 1rx =0⎧

∴⎨,

ry +2rz =0⎩

00

所以平面B 1O C 的一个法向量为n =(0, -2,1), 0

≤90,∴cos θ=cos n , BC

=

5

【高考真题探究】

r r r r r r

1. (2010·广东高考理科·T10)若向量a =(1,1,x ), b =(1,2,1), c =(1,1,1),满足条件(c -a ) ⋅(2b ) =-2,则

x r r r

c -a =(0, 0,1-x ) ,2b =(2, 4, 2) ,由(c -a ) ⋅(2b ) =-

2

得(0, 0,1-x ) ⋅(2, 4, 2) =-2,即2(1-x ) =-2,解得x =2. 【答案】2

2. (2010·浙江高考理科·T20)如图, 在矩形A B C D 中,点E , F 分别在线段

AB , AD 上,A E =E B =A F =

23

F D =4. 沿直线E F 将 V A E F 翻折成V A ' EF ,使平面A EF ⊥平面BEF .

'

(Ⅰ)求二面角A ' -FD -C 的余弦值;

(Ⅱ)点M , N 分别在线段FD , BC 上,若沿直线M N 将四边形M N C D 向上翻折,使C 与A ' 重合,求线段FM 的长。 【规范解答】方法一:(Ⅰ)取线段EF 的中点H ,连结A ' H ,因所以A H ⊥EF , 又因为平面A EF ⊥平A E =A F 及H 是EF 的中点,

BEF .

'

'

'

'

为面

如图建立空间直角坐标系A-xyz ,则A ' (2,2

,),C (10,8,

'

0),F (6,0,

(4,0,0),D (10,0,0). 故FA =(-2,2,

),FD =

0). 设n =(x,y,z )为平面A FD 的一个法向量,所

⎧⎪-2x +2y +=0

⎪⎩6x =0

'

取z =

n =(0,-。

n m

又平面BEF 的一个法向量m =(0,0,1) ,故cos 〈n , m 〉==。

n m 3

3

(Ⅱ)设FM =x , B N =a ,则M (4+x , 0, 0) ,N (a , 8, 0) , 因为翻折后,C 与A ' 重合,所以C M =A ' M ,C N =A ' N ,

222222

⎧(1321⎪(6-x ) +8+0=(-2-x )+2+

故,

⎨,得x =,a =,

222244⎪⎩(10-a ) =(2-a ) +6+ 所以F M =

214

3. (2010·陕西高考理科·T18)如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ,AP =AB=2, BC

=,

E ,F 分别是AD , PC 的中点.

(Ⅰ)证明:PC ⊥平面BEF ;

(Ⅱ)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小。

【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题,考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧。

【思路点拨】思路一:建立空间直角坐标系,利用空间向量求解;思路二:利用几何法求解.

【规范解答】解法一 (Ⅰ)如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系. ∵AP =AB=2, BC

=ABCD 是矩形.

∴A ,B ,C ,D 的坐标为

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,D(0

,0) ,P(0,0,2) 又E ,F 分别是AD ,PC 的中点,∴E(0

0),F(1

,1).

∴PC =(2

,-2)BF =(-1

1)EF =(1,0, 1),

∴PC ·BF =-2+4-2=0,PC ·EF =2+0-2=0,

∴PC ⊥BF ,PC ⊥EF ,∴PC ⊥BF,PC ⊥EF, BF EF =F ,∴PC ⊥平面BEF

(II )由(I )知平面BEF

的法向量n 1=PC =(2,-2), 平面BAP

的法向量n 2=AD =(0,0), ∴n 1 n 2=8,

n 1 n 2 == = 设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ

,则cos θ=cos n 1, n 2

2n 1n 2

∴θ=450, ∴ 平面BEF 与平面BAP 的夹角为45

4. (2010·重庆高考文科·T20)如题图,四棱锥P -A B C D 中, 底面A B C D 为矩形,PA ⊥底面

ABCD ,PA =AB =点E 是棱P B 的中点.

(I )证明:AE ⊥平面PBC ;

(II )若AD =1,求二面角B -E C -D 的平面角的余弦值. 【规范解答】(I )以A 为坐标原点,

射线AB , AD , AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系A -xyz . 如图所示.

设设D (0, a , 0,) 则B (2, 0, 0) ,

C a , 0) ,P (0,0,

22

22

) 。于

是AE =(

2

2

2) ,

E (,0,

0,

,B C =(0,a , 0) ,

uuu r uuu r uuu r uuu r

PC =a , ,则AE ⋅BC =0, AE ⋅PC =0, uuu r uuu r uuu r uuu r

所以AE ⊥BC , AE ⊥PC ,故AE ⊥平面PBC .

(II )设平面BEC 的法向量为n 1,由(Ⅰ)知,AE ⊥平面

BEC ,故可取n 1=EA =(-

2

02

. 设平面DEC 的u u r uuu r u u r uuu r

(2,1,0), 法向量n 2=,则n 2⋅DC =0, n 2⋅DF =0,,由A D =1,得D ,G (0,1,0)(x 2, y 2, z 2)⎧x 2=0

,故⎨,所以x 2=

0,z 2=, -1,

从而DC =

(2,0,0),D E =(

2,可取y 2=1,

22⎪

⎩2x 2-y 2+2

z 2=0则 n (01

n 1 2=,从而cos =n 2=-. n 1n 2

3【方法技巧】(1)用几何法推理证明、计算求解;(2)空间向量坐标法,通过向量的坐标运算解题. 5. (2010·江西高考文科·T20)

如图,∆B C D 与∆M C D 都是边长为2的正三角形,

A

平面M C D ⊥平面BC D ,AB ⊥平面BC D

,AB =. (1)求直线A M 与平面BC D 所成的角的大小; M

(2)求平面A C M 与平面BC D 所成的二面角的正弦值.

B

D

.

C

【规范解答】取CD 中点O ,连OB ,OM ,则OB ⊥CD ,OM ⊥CD ,又平面M C D ⊥

A

B

, C 则MO ⊥平面BC D .

以O 为原点,直线OC 、BO 、OM 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标

图. OB =OM

=则各点坐标分别为O (0,0,0),C (1,0,0),M (0,0

),B

-0),A (0,

2, (1)设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.

BC D 的法向量为 AM =(0

,平面n =(0,0,1) . 则有

sin α=cos A M , n

=A M ⋅n =

=

,所以A M ⋅n

2

α=45

.

(2

C M =(-1, ,C A =(-1, .

B (0,

⎧⎧⎪-x +=0⎪n 1⊥C M

设平面ACM 的法向量为n 1=(x , y , z ) ,由⎨ .

得⎨

⎪⎪⎩-x -+=0⎩n 1⊥C A

解得x =,y =

z ,取n 1=. 又平面BCD 的法向量为n =(0,0,1) ,

n ⋅n 则cos =1=θ

,则sin θ=

n 1⋅n

=

5

.

6. (2010·四川高考理科·T18)

已知正方体A B C D -A 'B 'C 'D '的棱长为1,点M 是棱A A '的中点,点O 是对角线BD '的中点. (Ⅰ)求证:O M 为异面直线A A '和BD '的公垂线; (Ⅱ)求二面角M -B C '-B '的大小; (Ⅲ)求三棱锥M -O B C 的体积.

【规范解答】(方法一) :(I )连结A C . 取A C 的中点K ,则K 为B D 的中点,连结O K .

∵点M 是棱A A '的中点,点O 是BD '

的中点,由A A '⊥A K ,得O M ⊥AA '.

∵AK ⊥BD , AK ⊥BB ',∴AK ⊥平面BDD 'B '. ∴AK ⊥BD '. ∴O M ⊥BD '. 又∵O M 与异面直线A A '和BD '都相交, 故O M 为异面直线A A '和公垂线,

(II )取B B '的中点N ,连结M N ,则MN ⊥平面BCC 'B ', 过点 过点N 作N H ⊥BC '于H ,连结M H ,则由三垂线 定理得,B C '⊥M H .

∴∠M H N 为二面角M -BC '-B '的平面角

.

M N =1, N H =BN sin 45=

BD '的

12

2

=

4

.

在R t ∆M N H 中

. tan M H N =

M N N H

=

4

=M -BC '-

B '的大小为arctan .

∆O B C 和∆O A 'D '都在平面B C D 'A '内,点O 到平面M A 'D '的距离h =(III )易知,S ∆O B C =S ∆O A 'D ', 且V M -O B C =V M -O A 'D '=V O -M A 'D '=

13

S ∆M A 'D 'h =

124

12

,∴

.

(方法二) :以点D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz , 则A (1,0, 0) ,B (1,1,0) ,C (0,1,0) ,A '(1,0,1) ,C '(0,1,1),D '

(0,0,1)

(I ) ∵点M 是棱A A '的中点,点O 是BD '的中点,

111

∴M (1,0, ) , O (, , ) ,

2222

A A '=(0,0,1) ,BD '=(-1, -1,1) .

1

11O M =(, -, 0)

22

,

11

OM ⋅AA '=0 ,O M ⋅B D '=-++0=0,

22

∴O M ⊥AA ', O M ⊥BD ',

又∵M O 与异面直线A A '和BD '都相交,

故M O 为异面直线A A '和BD '的公垂线,

1

(II )设平面BM C '的一个法向量为n 1=(x , y , z ) ,B M =(0,-1, ) ,BC '=(-1, 0,1) .

2

1⎧⎧⎪n 1⋅B M =0, ⎪-y +z =0,

即⎨ 2⎨

⎪⎩n 1⋅B C '=0. ⎪⎩-x +z =0.

'' 取z =2,则x =2, y =1. n 1=(2,1,2) . 取平面B C B 的一个法向量n 2=(0,1,0) .

n 1⋅n 2

cos ==

n 1n 2

=13

,由图可知,二面角M -BC '-B '的平面角为锐角,

13

故二面角M -BC '-B '的大小为arccos

14

.

4

(III

)易知,S ∆O BC =S 四边形BC D 'A '=

14

⨯1⨯=

,设平面O BC 的一个法向量为n 3=(x 1, y 1, z 1) ,

⎧ ⎪n 3⋅B D 1=0, ⎧-x 1-y 1+z 1=0, BD 1=(-1, -1,1) , B C =(-1, 0, 0) , ⎨ 即⎨

-x =0. ⎩1⎪⎩n 3⋅B C =0.

取z 1=1,则y 1=1,从而n 3=(0,1,1).

1B M ⋅n 3

111

===点M 到平面O BC

的距离d =. V M -O BC =S ∆O BC ⋅d =⨯.

33424n 3

【跟踪模拟训练】

一、选择题(每小题6分,共36分)

1. 已知点A (-3,1,-4),则点A 关于x 轴的对称点的坐标为( ) (A)(-3,-1,4)(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)

2. 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,D 是AC 的中点,AB 1⊥BC 1,则平面DBC 1与平面CBC 1所成的角为( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

3. 设动直线x =a 与函数f (x ) =2sin 2(为( )

π

4

+

x ) 和g (x ) =2x 的图象分别交于M 、N 两点,则|M N |的最大值

A

C.2 D.3

4. 在直角坐标系中,设A (3,2) ,B (-2, -3) ,沿y 轴把坐标平面折成120的二面角后,AB 的长为( )

o

A

B

. C

. D

5. 矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ,则四面体ABCD 的外接球的体积为( )

125

A .12

π

125

B .9

π

125

C .6

π

125

D .3

π

6. 如图:在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点。若AB =a ,AD =b ,AA 1=c 则下列向量中与BM 相等的向量是( )

-12a +

12b +c

1a +

12b +c

-12a -

12b +c

1a -

12b +c

(A )

(B )2

(C )

(D )2

二、填空题(每小题6分,共18分)

7.O X ,O Y ,O Z 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线,点P

到这三条直线的距离分别为, a , b ,则

O

P =

则a 2+b 2=_ _。

8.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=2,AD=1,且AB 、AD 、AA1两两之间夹角均为600,则AC 1•BD 1= 9.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后,有下列四个结论:

(1)AC ⊥BD ; (2)∆ACD 是等边三角形;(3)AB 与平面BCD 成60° ;(4)AB 与CD 所成的角为60°.其中正确结论的序号为_________(填上所有正确结论的序号). 三、解答题(共46分)

10. 如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面是边长为 2的菱形,∠BAD=60°,对角线AC 与BD 相交于点O ,PO =

F 分别是BC 、AP 的中点. (1)求证:EF ∥平面PCD ; (2)求二面角A —BP —D 的余弦值.

3,E 、

11. 某组合体由直三棱柱AB C -A 1B 1C 1与正三棱锥B -ACD 组成,如图所示,其中,AB ⊥BC .它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为22+1,1,22+1.

(1)求直线CA 1与平面ACD 所成角的正弦; (2)在线段

AC

1

上是否存在点P ,使

B 1P ⊥

平面ACD ,若存在,确定点P 的位置;若不存在,说明理由.

12. 如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥面ABC ,

BC ⊥AC , BC =AC =2,AA 1=3,D 为AC 的中点。

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(I)求证:AB 1//面BDC 1;

(Ⅱ) 求二面角C 1-BD -C 的余弦值

参考答案

1.【解析】选A. ∵点A 关于x 轴对称点的规律是在x 轴上的坐标不变,在y 轴,z 轴上的坐标分别变为相反数,∴点A (-3,1,-4)关于x 轴的对称点的坐标为(-3,-1,4).

2.【解析】选B. 以A 为坐标原点,AC 、AA 1分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系. 设底面边长为2a. 侧棱长为

2b.

3.D 4.D 5.C 6.A 7.64 8.3 9.(1)(2)(4)

1AD

10.解:(1)证明:取PD 的中点G ,连接FG 、CG ∵FG 是△PAD 的中卫县,∴FG

在菱形ABCD 中,

AD ∴EF ∥CG

又EF ⊄面PCD ,CG ⊂面PCD ,∴EF ∥面PCD

BC ,又E 为BC 的中点,∴CE

2

FG ,∴四边形EFGC 是平行四边形,

(2)法1:以O 为原点,OB ,OC ,OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系。

则0(0,0,0),A (0,-

3,0),B (1,0,0)P (0,0,3)

AB =(1,3,0)AP =(0,3,3)

设面ABP 的发向量为n =(x , y , z ) ,则

⎧⎧⎧x =-3y ⎪n ⋅AB =0⎪x +3y =0

⎨⎨⎨

⎪⎪3y +3z =0z =-y n ⋅AP =0⎩,即⎩即⎩

n =(3, -1, 1)

又OA ⋅OP =0,OA ⋅OB =0,∴OA ⊥面PBD ,∴OA 为面PBD 的发向量,

3,0)

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∴OA =(0,-

cos =

=

355

5⋅

3

=

5

. 所以所求二面角的余弦值为5

法2:在菱形ABCD 中,AC ⊥BD ,

∵OP ⊥面ABCD ,AC ⊂面ABCD ,∴AC ⊥OP ,OP BD=0,∴AC ⊥面PBD ,AC ⊥BP , 在面PBD 中,过O 作ON ⊥PB ,连AN ,PB ⊥面AON ,则AN ⊥PB 。

即∠ANO 为所求二面角的平面角

ON =

OP ⋅OB 3+ON

2

=

=3在Rt △POB 中,

BP

=

2AN =

OA

2

AO=ABcos30°,∴

3

ANO =

ON 2AN

=

=

55

5

∴cos ∠

2

。所以所求二面角的余弦值为5

11.【解析】

解:(1)设B A =B C =B D =a , B B 1=b ⎧

⎪ab +1a 2=1由条件

⎪⎧⎨2

⇒⎪⎨

a =⎪1⎪⎩b =2⎪⎩2

a 2=1

点B

为原点,分

别以BC 、BB 1、BA 为

x 轴、y 轴、z 轴

建立空间直角

坐标系, 则A (0,C 0, 0), D (0,0), B 1(0,2, 0), C 12, 0), A 1(0, ∆AC D 的重心G ⎛

, -⎫

∴a =BG =⎛

, -⎫

为平面AC D 的法向量. ⎝333⎪⎪

⎭ 3⎪⎝

33⎪⎭

-

又C A 1=(

则cos a , C

A 1=

=

6

∴所求角的正弦值为

6

(2)令AP =m AC 1=, 2m , )

B 1P =B 1A +AP =

, 2m -)

=λa

=⎪

3∴⎪⎪

⎨2m -2=-∴无解

3=⎩3∴不存在满足条件的点P .

12.解:(1)连接B1C ,交BC1于点O ,则O 为B1C 的中点,

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2

∵D 为AC 中点 ∴OD ∥B1A

又B1A ⊄平面BDC1,OD ⊆平面BDC1 ∴B1A ∥平面BDC1

(2)∵AA1⊥面ABC ,BC ⊥AC ,AA1∥CC1 ∴CC1⊥面ABC 则BC ⊥平面AC1,CC1⊥AC 如图以C 为坐标原点,CA 所在直线为X 轴,CB 所在直线为Y 轴,C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) ∴设平面

C 1D B

C C 1

所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系 则

的法向量为n =(x , y , z ) 由

n ⊥C 1D , n ⊥C 1B

n =(6,3, 2)

x -3z =0, 2y -3z =0,取z =2, 则

=27

又平面BDC 的法向量为

CC 1=(0,0, 3)

2

〈C 1C , n 〉=

C C ⋅n 1 cos

∴二面角C1—BD —C 的余弦值为7

【备课资源】

1. 已知两条异面直线a 、b 所成的角为40°,直线l 与a 、b 所成的角都等于θ,则θ的取值范围是( ) (A)[20°,90°] 【解析】选

A.

(B)[20°,90°) (C)(20°,40°]

(D)[70°,90°]

取空间任一点O ,将直线a,b, l 平移到过O 点后分别为a ′,b ′, l ′,则l ′与a ′,b ′所成的角即为l 与a,b 所成的角. 当l ′与a ′,b ′共面时θ最小为20°. 当l ′与a ′,b ′确定的平面垂直时,θ最大为90°. 故θ的取值范围为[20°,90°]

.

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3. 如图甲, 直角梯形ABCD 中,AB ∥CD, ∠DAB=, 点M 、N 分别在AB ,CD 上,且MN ⊥AB ,MC ⊥CB ,BC=2,MB=4,现将梯

形ABCD 沿MN 折起,使平面AMND 与平面MNCB 垂直(如图乙). (1)求证:AB ∥平面DNC ;

(2)当DN 的长为何值时,二面角D-BC-N 的大小为30°?

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