讨论二元函数连续性_偏导存在性及可微性间的关系

第23卷第2期

哈尔滨师范大学自然科学学报

NAT URAL SC I E NCES JOURNAL OF HARB I N NOR MAL UN I V ERSI TY

Vol . 23, No . 22007

讨论二元函数连续性、偏导存在性

张 ()

(青岛飞洋职业技术学院)

【摘要】 通过具体实例对二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系进行

讨论.

关键词:连续性; 偏导存在性; 可微性

故函数f (x, y ) =x +y 在点(0, 0) 连续. =

Δx

22

0 引言

多元函数是一元函数的推广, 因此它保留着一元函数的许多性质, 但也有某些差异, 这些差异

(即自变量由一个主要是由于多元函数的“多元”增加到多个) 而产生的. 对于多元函数我们着重讨论二元函数, 在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后, 再将它推广到一般的多元函数中去. 本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系.

由偏导数定义:

f x (0, 0) =li m

Δx →x

 1, Δx >0, 2

li m 故f x (0, 0) 不存在. 同Δx →x Δx Δ-1, x

1. 2 函数f (x, y ) 在点P 0(x 0, y 0) 偏导存在, 但不

一定连续

例2 函数f (x, y ) =

x +y , xy =0

2

2

1, xy ≠0

在点

1 二元函数连续性与偏导存在性间

(0, 0) 处f x (0, 0) , f y (0, 0) 存在, 但不连续.

的关系

1. 1 函数f (x, y ) 在点P 0(x 0, y 0) 连续, 但偏

导不一定存在.

例1 证明函数f (x, y ) =0) 连续偏导存在.

x +y 在点(0,

2

2

证明 由偏导数定义:

f x (0, 0) =li m Δx →x Δx

=li m Δx =0,

Δx →x

同理可求得f y (0, 0) =0.

因为(

x, y →0, 0)

证明 因为 (

=

x, y →0, 0)

li m

) (

f (x, y ) =

2

2

(x, y →0, 0)

li m

) (

(x +y )

22

li m ) (li m ) (

f (x, y ) x +y

2

2

=0≠f (0, 0) =1

=0=f (0, 0)

故函数f (x, y ) =

x +y , xy =0

(x, y →0, 0)

1, xy ≠0

在点(0, 0) 处

收稿日期:2006-11-08

第2期               讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系

33

不连续.

综上可见, 二元的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系.

f (x, y ) 的偏导在点P 0(x 0, y 0) 的某邻域内存在,

2 二元函数的可微性与偏导存在性

且f x 与f y 在点P 0(x 0, y 0) 处连续, 则函数f (x, y ) 在点P 0(x 0, y 0) 可微.

注2:偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.

例4 证明函数

f (x, y ) (x +y ) sin

2

2

间的关系

2. 1 可微与偏导存在

x +y

2

2

, x +y ≠0

2

2

22

定理1(可微的必要条件)  若二元函数f (x,

y ) 在其定义域内一点P 0(x 0, y 0) 处可微, 则f 在该

点关于每个自变量的偏导都存在, 且d f |(x 0, y 0) =

f x (x 0, y 0) d x +f y (x 0, y 0) d y .

注1:定理1, f (x, y ) 在点P 0(x 0,    0, x +y =0

在点(0, 0) x , f y (x, y ) 在(0, 0) .

22

(x, y ) :x +y ≠0, 有

f x (x, y ) =2x sin 22-2222

x +y

x +y

x +y

f y (x, y ) =2y sin

一定可微.

例3 f (x, y ) , x +y ≠0, 22

x +y 2

2

x +y

2

2

-

x +y

x →0

22

x +y

x →0

22

(1) 当y =x 时, 极限li m f x (x, x ) =li m (2x sin

0, x +y =0

22

2) 不存在, 则f x (x, y ) 在(0, 0) 点间2-x 2x 2x

在原点两个偏导存在, 但不可微.

证明 由偏导数定义:

f x (0, 0) =li m Δx →x Δx

=li m

断. 同理可证f y (x, y ) 在(0, 0) 点间断.

() ()

(2) 因f x (0, 0) =li m

x →0

x

=li m x sin

x →0

x

2

=0,

Δx →x

Δx

=0,

f y (0, 0) =li m

x →0

同理可求得f y (0, 0) =0.

下面利用可微的定义来证明其不可微, 用反证法. 若函数f 在原点可微, 则Δf -d f =[f (0+Δx, 0+Δy ) -f (0, 0) ]-[f x (0, 0) d x +f y (0, 0) d y ]=

() ()

y

=li m y sin

y →0

y

2

=0

则d f =f x (0, 0) d x +f y (0, 0) d y =0,

Δf =f (x, y ) -f (0, 0) =(x 2+y 2) sin

=ρsin

2

Δx Δy

2

x +Δy

22

, 应是较ρ=x +Δy 的2

x +y

2

2

高阶无穷小量, 为此考察极限

Δf -d f Δx Δy li m =li m 22ρρ→0→0Δx +Δy ρ

  当动点(x, y ) 沿直线y =m x 趋于(0, 0) 时, 则

(x, y →0, 0)

ρ

2

(Π(x, y ) :x +y ≠0)

22

从而

2

ρsin 2

Δf -d f ρ

ρsin li m =li m =li m =0, 2ρρρ→0→0→0ρρρ

li m ) (

2

x +y

2

即函数f (x, y ) 在点(0, 0) 可微.

=

(x, y →0, 0)

y =mx

li m ) (

2=2

1+m 1+m

3 二元函数的连续性与可微性间的

这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时, 对应的极限值也不同, 因此所讨论的极限不存在. 故函数f 在原点不可微. 2. 2 偏导连续与可微

关系

类似于一元函数的连续性与可导性间的关

系, 即二元函数f (x, y ) 在点P 0(x 0, y 0) 可微, 则必连续. 反之不然.

例5 证明函数f (x, y ) =|xy |在点(0, 0) 连续, 但它在点(0, 0) 不可微.

定理2(可微的充分条件)  若二元函数z =

34

哈尔滨师范大学自然科学学报                    2007年

证明 (1) 因为li m f (x, y ) =li m

x →0y →0

x →0y →0

|xy |=

0=f (0, 0) , 故函数f (x, y ) =|xy |在点(0, 0)

连续;

(2) 因为Δf =f (0+Δx, 0+Δy ) -f (0, 0) =|Δx ||Δy |

′′

d f =f x (0, 0) d x +f y (0, 0) d y =0

所以 ρli m

=li m

Δf

=li m Δx →0→0ρΔy →0

22

(Δx ) +(Δy )

(Δx )

2

+(Δy )

2

Δx →0Δy →0

当动点(x, y ) 沿着直线y =x ) , 有

Δx →0Δy →0

参 考 文 献

1 华东师范大学数学系. 数学分析(三版) . 高等教育出版社,

2004. 5.

2 吴良森, 等. 数学分析学习指导书. 高等教育出版社, 2004. 9. 3 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义(三版) . 高等教育出版社,

2001. 2.

4 刘玉琏, 等. 数学分析讲义学习辅导书(二版) . 高等教育出版

li m

≠022=

(Δx ) +(Δy Δf -d f

即ρli m ≠0, 故f (x, y ) 在原点(0, 0) 不可→0ρ微.

综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图1所示.

社, 2004. 7.

D I SCUSS THE RE LATI ONS OF THE CONTI NUI T Y, THE EXI STENCE OF PARTI AL DERI VATI ON AN D THE D I FFERENTI ABI L I T Y OF THE DUAL FUNCTI ON

Zhang Hong

(A Cheng I nstitute of Harbin Nor mal University )

  

Men Yanhong

(qingdao Feiyang Vocati onal and Techaial College )

ABSTRACT

I n this paper, we discuss the relati ons of the continuity, the existence of partial derivati on and the differentiability of the dual functi on by the s pecific exa mp les .

Keywords:Continuity; The existence of partial derivati on; D ifferentiability

(责任编辑:李双臻)


相关内容

  • 多元函数分析性质之间的关系

    多元函数分析性质之间的关系 本文主要介绍了二元函数连续性,偏导性存在及可微性的基础知识,对它们分别进行了总结证明和进一步的讨论,总结出这三个概念之间的关系,并举出例子加以论证支撑.由浅入深,从简单开始,逐步深入,做深入探究多元函数连续性,偏 ...


  • 二元函数极限的研究

    二元函数极限的研究 作者:郑露遥 指导教师:杨翠 摘要 函数的极限是高等数学重要的内容,二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的,本文讨论了二元函数极限的定义.二元函数极限存在或不存在的判定方法.求二元函数极限的方法.简单讨论二元函数 ...


  • 第五章--多元函数微积分

    第五章 多元函数微积分 学习目的和要求 学习本章,要求读者掌握多元函数及其偏导数的概念.偏导数的求导法则及利用偏导数讨论多元函数的极值.最大值和最小值,学会使用拉格朗日乘数法研究条件极值并应用最小二乘法等讨论经济问题,了解二重积分的数学含义 ...


  • 数学分析考试要求

    601 数学分析 考试基本要求 一 实数集与函数 (1)掌握实数的基本性质和确界原理,建立实数集确界概念:(2)理解函数的概念,熟悉与函数性态有关的一些常见术语. 二 数列极限 (1)理解数列极限的概念 (2)了解收敛数列的性质,理解数列收 ...


  • 浅谈采用聚点的概念定义多元函数极限的利弊

    第14卷第3期 工 科 数 学V o l . 14,N o. 31998年6月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CS FO R T ECHNOLO GY Jun . 1997 浅谈采用聚点的概念定义多元函数极限的利 ...


  • 数与多元函数基本性质异同性的分析

    ExcHANGE.FExPER.ENcE经验交流 l,.9 一元函数与多元函数基本性质异同性的分析 吴一梅 (安康学院数学系 赵临龙 安康市725000) 摘要:通过对一元函数到多元函数基本性质的讨论,分析了从一元函数到多元函数中异同点 的 ...


  • 二维连续型随机变量的函数分布

    [摘 要]本文利用分布函数与概率密度函数之间的关系,讨论了二维连续型随机变量的加.减.乘.除等的函数分布,在已学过的分布函数法的基础上又运用换元法.变量变换法及增补变量法,研究了常见的二维连续型随机变量函数分布的求解方法. [关键词]二维连 ...


  • 关于[高等数学]教学基本要求的说明

    关于<高等数学>教学基本要求的说明 1.这份基本要求是根据原国家教委批准的高等工业学校<高等数学课程教学基本要求>,在我校原数学教研组制定的基本要求的基础上,结合近年来<高等数学>课程教学改革的实践和面临 ...


  • 数学专业毕业论文题目

    数学专业毕业论文题目 反常积分的敛散性判别法 含参量反常积分一致收敛与非一致收敛判别法 含两个参量的广义积分的连续性, 可微性与可积性 隐函数及隐函数组的求导问题 浅谈中值定理 导数与不等式的证明的应用 极限思想在数学解题中的运用 关于对称 ...