捕食模型(生物数学)

捕食模型

(食饵捕食模型,生物数学重要模型)

假设及建立模型:

假设一个生态系统,其中含有两种生物 A生物和B生物,其中A生物是捕食者,B生物是被捕食者。建立捕食数学模型

1) 在观测数据(DATA1)无误差的情况下,确定模型中的参数,并分析误差。

2) 在观测资料有误差(时间变量不含有误差)的情况下,请分别利用观测数据DATA2和DATA3,确定参数在某种意义下的最优解,并与仿真结果比较,进而改进你们的数学模型。 3) 假设连观测资料的时间变量也含有误差,试利用数据DATA4,建立数学模型,确定参数在某种意义下的最优解。

通过对此生态系统的观测,可以得到相关的观测数据。观测数据的格式依次为:

观测时刻tj

、A生物数目x(tj)、B生物数目y(tj)

对于生态系统中的两种生物A和B,A生物为捕食者,B生物为被捕食者。在某

一段时期内,A生物的数量与B生物的数量之间存在一定的关系。

根据已知条件,可将(15)式改写为如下形式:

dx

=x(α1+α2y)dt

(1)

dy

=y(α3+α4x)dt

(2)

⎧x(t0)=α5⎨

⎩y(t0)=α6

其中αk(1≤k≤6)为模型的待定参数。

进行变换可得:

dyy(α3+α4x)=

dxx(α1+α2y)

(3)

积分得:

dy(α1+α2y)dx(α3+α4x)

=

yx

(4)

α(1lny-lny0)+α2(y-y0)+α3(lnx0-lnx)+α4(x0-x)=0

可将上述表达式改写成n元齐次线性方程组的形式,如下所示:

Am⨯nα=0

(5)

上述n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)

我们首先用DATA1中的3组数据确定a1,a2,a3,a4, 程序 clear

A=zeros(3,4);

A(1,1)=log(0.[**************]6 /60); A(1,2)= 60-0.[**************]6; A(1,3)=-log(11.[**************] /10); A(1,4)=10-11.[**************] ; A(2,1)=log(7.[**************]/60);

A(2,2)= 7.[**************]-60; A(2,3)=-log(3.[**************]6 /10); A(2,4)=10-3.[**************]6; A(3,1)=log(0.[**************]4/60); A(3,2)= 0.[**************]4-60; A(3,3)=-log(20.[1**********]798/10); A(3,4)=10-20.[1**********]798 ;

r=rank(A); % rank(A)=r

表1 a'k(1≤k≤4)的值

y=(y0+

ααα1ααα

lny0-4x0-3lnx0)-1lny+4x+3lnx (28)α2α2α2α2α2α2

ααααα1α

lny0-4x0-3lnx0),β1=-1,β2=4,β3=3,

α2α2α2α2α2α2

如设:β0=(y0+

x1=lny,x2=x,x3=lnx,则(28)式可以写为如下形式;

y=β0+β1x1+β2x2+β3x3

(29)

对于(29)式中因变量y是自变量x={x1

x2

x3}的线性函数。可以建立起因变量

y的多元线性回归模型,

① 利用数据文件data2.txt,首先绘制出x(t)、y(t)与时间t的关系图象,和y(t)对x(t)的散点图,如图3所示(程序见gg1)。

利用MATLAB工具箱中的regress(y,x)命令,计算回归系数β的最小二乘估

ˆ及其置信区间,计算结果如表1所示,计算程序名为gg5。 计β

由它得到的模型为:

ˆ=-139.[1**********]43+19.[**************]1-9.[**************]x2y

+ (51)

99.[1**********]960

x3

结果分析:表1显示R2=0.[**************]8是指因变量y的99.71%可由模型(51)确定,F值远远超过F检验的临界值,p远小于α,因而模型(30) 从整体上看是可用的。表1的回归系数给出了模型(30)中β0,β1,β2,β3的 估计值。检查它们的置信区间发现都不包含零点,表明回归变量都很显著。

图3 y(t)对x(t)的散点图和x(t)、y(t)与时间t的关系图

得出β的估计值即可确定αi(i=1,2,3,4)之间的相互关系:α1=-β1α2,

ˆi=yi-yˆi(i=1, ,150)达到最小值进行最α3=β3α2,α4=β2α2,再利用残差ei=ε

优化计算来确定α2的取值,从而确定其它参数值,模型(30)的残差与x2的散

点图如图4所示。

表1 data2.txt中β的计算结果

从图中可以看出随着x2的增加,残差ei也逐渐增大。通过优化计算得出在捕食者A和被捕食者B共同存在,相互竞争达到动态平衡的状况下参数α2的最优值为α2=0.1,从而可以确定参数α1,α3,α4的最优值。

α1= -1.[**************],α2=0.1,α3= 9.[**************], α4

=

-0.[**************]

α5

= 12.[**************],

α6=72.[1**********]777

利用上述数据对模型(30)的拟合效果如图5所示,相关程序为lorenzep.m和gg8.m。

从图像可以看出拟合的数据仍然有一些偏差,究其原因是我们在建立(30)式所示的模型时,假设回归变量x={x1

x2

x3}对因变量y的影响是相互独立

的。然而根据直觉和经验可以猜想,x1、x2、x3之间的交互作用会对y产生影响, 不妨简单地利用x1、x2、x3的乘积代表它们的交互作用,于是将模型(30)

增加一项得到:

⎧y=β0+β1x1+β2x2+β3x3+β4x1x2x3+ε

(52) ⎨2

ε N(0,σ)⎩

图4 残差ei与x2的散点图

图5 模型(30)的数据拟合

② 利用数据文件DATA3.txt,首先绘制出x(t)、y(t)与时间t的关系图象,和

y(t)对x(t)的散点图,如图6所示(程序见gg4)。

利用MATLAB工具箱中的regress(y,x)命令,计算回归系数β的最小二乘估

ˆ及其置信区间,计算结果如表2所示,计算程序名为gg6。

计β

图6 y(t)对x(t)的散点图和x(t)、y(t)与时间t的关系图

由它得到的模型为:

y=-120.[1**********]12+17.[1**********]1x-8.[**************]x+

1

2

87.[1**********]46(53)

x3

结果分析:表2显示R2=0. [**************]5是指因变量y的92.29%可由模型(53)确定,F值远远超过F检验的临界值,p远小于α,因而模型(30)从整体上看是可用的。表2的回归系数给出了模型(30)中β0,β1,β2,β3的估计

表2 DATA3.txt中β的计算结果

值。检查它们的置信区间发现都不包含零点,表明回归变量都很显著。

得出β的估计值即可确定αi(i=1,2,3,4)之间的相互关系:α1=-β1α2,

ˆi=yi-yˆi(i=1, ,1500)达到最小值进行α3=β3α2,α4=β2α2,再利用残差ei=ε

最优化计算来确定α2的取值,从而确定其它参数值,模型(30)的残差与x2的散点图如图7所示。

从图中可以看出随着x2的增加,残差ei也逐渐增大。通过优化计算得出在捕食者A和被捕食者B共同存在,相互竞争达到动态平衡的状况下参数α2的最优值为α2=0.115,从而可以确定参数α1,α3,α4的最优值。

α1= -2.[**************],α2=0.115,α3= 10.[1**********]203, α4

=-1.[**************]

α5

=12.[1**********]266,

α6=73.[1**********]651

利用上述数据对模型(30)的拟合效果如图8所示,相关程序为lorenzep1.m和gg10.m。

图7 残差ei与x2的散点图

从图像可以看出拟合的数据仍然有一些偏差,究其原因是我们在建立(30)式所示的模型时,假设回归变量x={x1

x2

x3}对因变量y的影响是相互独立

的。然而根据直觉和经验可以猜想,x1、x2、x3之间的交互作用会对y产生影响,不妨简单地利用x1、x2、x3的乘积代表它们的交互作用,于是将模型(30)增加三项得到:

⎧y=β0+β1x1+β2x2+β3x3+β4x1x2+β5x1x3+β6x2x3+β4x1x2x3+ε (54) ⎨2ε N(0,σ)⎩


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