铁木辛柯梁

铁木辛柯梁是20世纪早期由美籍俄裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展的力学模型。[1][2]模型考虑了剪应力和转动惯性,使其适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度的高频激励时梁的表现。结果方程有4阶,但不同于一般的梁理论,如欧拉-伯努利梁理论,还有一个2阶空间导数呈现。实际上,考虑了附加的变形机理有效地降低了梁的刚度,结果在一稳态载荷下挠度更大,在一组给定的边界条件时预估固有频率更低。后者在高频即波长更短时效果更明显,反向剪力距离缩短时也有同样效果。

铁木辛柯梁(蓝)的变形与欧拉-伯努利梁(红)的对比

如果梁材料的剪切模量接近无穷,即此时梁为剪切刚体,并且忽略转动惯性,则铁木辛柯梁理论趋同于一般梁理论。

准静态铁木辛柯梁

铁木辛柯梁的变形。

不等于

在静力学中铁木辛柯梁理论没有轴向影响,假定梁的位移服从于

式中

是梁上一点的坐标,

是位移矢量的三维坐标分量,是对于梁的

中性面的法向转角,是中性面的在方向的位移。 控制方程是以下常微分方程的解耦系统:

静态条件下的铁木辛柯梁理论等同于欧拉

-伯努利梁理论,即当

可忽略上面控制方程的最后一项,得到有效的近似,式中是梁的长度。

对于等截面均匀梁,合并以上两个方程,

动态铁木辛柯梁

在铁木辛柯梁理论中若不考虑轴向影响,则给出梁的位移

式中

是梁内一点的坐标,

是位移矢量的三维坐标分量,是对于梁的

中性面的法向转角,是中性面方向的位移.

从以上假设,铁木辛柯梁,考虑到振动,要用线性耦合偏微分方程描述:[3]

其中因变量是梁的平移位移

和转角位移

。注意不同于欧拉-伯努利梁理论,

转角位移是另一个变量而非挠度斜率的近似。此外,

∙ 是梁材料的(而非);

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

是截面面积; 是; 是; 是;

,称作铁木辛柯剪切系数,由形状确定,通常矩形截面

是载荷分布(单位长度上的力);

这些参数不一定是常数。

对于各向同性的线弹性均匀等截面梁,以上两个方程可合并成

轴向影响

如果梁的位移由下式给出

其中

是方向的附加位移,则铁木辛柯梁的控制方程成为

其中

是外加轴向力。任意外部轴向力的平衡依靠应力

式中

是轴向应力,梁的厚度设为

包含轴向力的梁方程合并为

阻尼

如果,除轴向力外,我们考虑与速度成正比的阻尼力,形如

铁木辛柯梁的耦合控制方程成为

合并方程为

切变系数

确定切变系数不是直接的,一般它必须满足:

切变系数由泊松比确定。更严格的表达方法由多位科学家完成,包括斯蒂芬·铁木辛柯、雷蒙德·明德林(Raymond D. Mindlin)、考珀(G . R. Cowper)和约翰·哈钦森(John W. Hutchinson)等。工程实践中,斯蒂芬·铁木辛柯的表达一般状况下足够好。[6] 对于固态矩形截面:

对于固态圆形截面:


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